Nieliniowa statyka 6-parametrowych powłok sprężysto-plastycznych

Opis

Nieliniowa statyka 6-parametrowych powłok sprężysto-plastycznych. Efektywne obliczenia MES

autor: Burzyński Stanisław

Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej

Plastyczność jest jednym z najszerzej opisanych w literaturze typów nieliniowości materiałowej. Wynika to z zapotrzebowania inżynierów na odwzorowanie zachowania konstrukcji (czy to budowlanej, czy też np. części maszyny) po przekroczeniu obciążenia, które powoduje przejście jej materiału ze stanu sprężystego do plastycznego (na poziomie naprężeń w konstrukcji mówi się o osiągnięciu granicy plastyczności). Główna różnica pomiędzy tymi stanami polega na odwracalności deformacji wynikającej z przyłożenia i zdjęcia obciążenia. Materiał sprężysty powróci do swojego pierwotnego kształtu, uplastyczniony zaś zachowa („zapamięta”1) częściowo zmianę swojego kształtu. Zmiany te, tj. odkształcenia trwałe, kumulują się i mają istotny wpływ na wytężenie materiału w dalszych cyklach obciążania i odciążania.

Najważniejsze cele niniejszej pracy obejmują sformułowanie i implementację numeryczną sprężysto-plastycznych równań konstytutywnych w ramach nieliniowej 6‑parametrowej teorii powłok. Teoria ta rozwijana jest od wielu lat m.in. w zespole obecnej Katedry Wytrzymałości Materiałów na Wydziale Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej. Wśród tematów zrealizowanych na jej kanwie warto wymienić takie jak: analiza problemów dynamiki, opis kompozytów (zachowanie sprężyste), zastosowanie elementów skończonych o założonym polu odkształceń, analiza powłok zbudowanych z materiałów FGM czy wreszcie – będąca tematem niniejszej rozprawy – implementacja materiału sprężysto-plastycznego.

Autor książki uzyskał dostęp do starannie przygotowanego oprogramowania bazującego na solidnym podłożu teoretycznym, dającym komfort pracy nad implementacją kolejnych zagadnień. Potencjał nowoczesnych technologii komputerowych w zakresie przyspieszania obliczeń numerycznych nie był dotąd w pełni wykorzystywany. Stąd część niniejszej pracy stanowią przystosowanie algorytmów numerycznych do obliczeń wielowątkowych oraz implementacja nowoczesnych algorytmów rozwiązywania układów równań (solver; w dalszej części pracy te pojęcia będą używane naprzemiennie) przeznaczonych do układów formułowanych w ramach MES.

Spis Treści:

Spis treści
Wykaz oznaczeń ……… 9
1. WSTĘP ………. 11
1.1. Stan wiedzy ……… 12
1.2. Założenia …….. 14
1.3. Próba jednoosiowego rozciągania – rola w opisie teorii plastyczności …. 14
1.4. Znaczenie polskich uczonych w rozwoju teorii plastyczności …….. 16
1.4.1. Maksymilian Tytus Huber …… 17
1.4.2. Włodzimierz Trzywdar Burzyński …….. 18
1.4.3. Polska szkoła plastyczności …… 18
1.5. Struktura pracy …………. 19
2. ZARYS TEORII POWŁOK ……… 21
2.1. Powłoka jako ciało trójwymiarowe ……….. 21
2.2. Zasady zachowania, równania ruchu ………… 22
2.3. Ciało typu powłoka, równania ruchu ………. 23
2.4. Zasada prac wirtualnych, miary odkształceń …… 26
2.5. Współrzędne fizyczne, notacja macierzowo-operatorowa …… 26
2.6. Linearyzacja ………. 29
3. RÓWNANIA SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE OŚRODKA COSSERATÓW ….. 30
3.1. Wprowadzenie …. 30
3.2. Statyka i kinematyka w liniowym ośrodku Cosseratów ….. 30
3.2.1. Problem brzegowy ……… 31
3.3. Sprężysty izotropowy ośrodek Cosseratów …… 32
3.3.1. Stan sprężysty w ośrodku Cosseratów ………. 32
3.3.2. Redukcja do zagadnienia płaskiego …… 33
3.4. Założenia klasycznej teorii plastyczności …….. 36
3.4.1. Zagadnienie jednowymiarowe …….. 37
3.4.2. Zagadnienie przestrzenne ……….. 40
3.4.3. Kryterium uplastycznienia, funkcja wzmocnienia ….42

3.5. Plastyczność w ośrodku Cosseratów

4. ALGORYTMY NUMERYCZNE ……… 49
4.1. Numeryczne rozwiązanie równań plastyczności ………… 49
4.2. Idea algorytmów rozwiązywania równań plastyczności …….. 50
4.3. Równania plastyczności jako zagadnienie brzegowe równania różniczkowego
zwyczajnego ….. 50
4.4. Closest point projection method (CPPM) …. 53
6 Spis treści
4.5. Cutting plane algorithm (CPA) …… 54
4.6. Algorytmiczna macierz konstytutywna …… 54
4.7. Porównanie algorytmów CPPM i CPA ……. 55
4.8. Algorytmy powrotu – płaski ośrodek Cosseratów …….. 57
4.9. Test algorytmów CPPM i CPA …….. 59
5. WYBRANE ZAGADNIENIA METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH …… 62
5.1. Aproksymacja skończenie wymiarowa i interpolacja …….. 62
5.1.1. Interpolacja wielkości wektorowych … 62
5.1.2. Interpolacja wielkości z grupy SO(3) ……. 63
5.1.3. Interpolacja wielkości z grupy so(3) ……. 64
5.2. Wektory i macierze elementowe ………. 65
5.3. Śledzenie ścieżek równowagi ………..

5.4. Prawo konstytutywne dla sił i momentów przekrojowych
5.5. Rozwiązanie przyrostowe w zagadnieniach sprężysto-plastycznych …. 70
5.6. Algorytmy plastyczności w globalnym algorytmie MES ….. 71
6. EFEKTYWNOŚĆ OBLICZEŃ …….. 73
6.1. Rozwój komputerów osobistych ………. 73
6.2. Koncepcja obliczeń wielowątkowych …….. 74
6.3. Rozwiązywanie rzadkich układów równań …….. 78
7. PRZYKŁADY NUMERYCZNE …. 83
7.1. Problem Kirscha w ośrodku Cosseratów ….. 85
7.2. Tarcza z otworem …………. 88
7.3. Panel walcowy – Scordelis–Lo roof ……….. 91
7.4. Cylinder ścinany ………….. 99
7.5. Wspornik ceowy ………. 105
7.6. Panel płytowy w kształcie korytka …….. 112
8. PODSUMOWANIE ………. 121
8.1. Oryginalne aspekty pracy ………. 121
8.2. Wnioski z pracy ……. 122
8.3. Kierunki dalszych badań …… 122
8.4. Podziękowania ………… 123
DODATKI ………… 124
A. Opis obrotów ……… 124
A.1. Tensor ortogonalny ……. 124
A.2. Tensor skośnie symetryczny ……….. 124
A.3. Obrót właściwy, grupa obrotów SO(3) ……… 124
A.4. Twierdzenie Eulera o obrotach ……. 125
A.5. Mały obrót, przestrzeń styczna do grupy obrotów ……. 125
A.6. Parametryzacja grupy obrotów …….. 125
B. Geometria powierzchni …………….. 127
C. Całkowanie numeryczne …………. 127
D. Program PLST2GID ………… 129
Bibliografia ……………….. 131
Streszczenie w języku polskim …………… 139
Streszczenie w języku angielskim …………… 140