Teoria multifunkcji

Opis

Teoria multifunkcji

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Andrzej Fryszkowski

„Teoria multifunkcji” jest pierwszą książką w języku polskim poświęconą w całości przekształceniom wielowartościowym. Celem publikacji jest przedstawienie najważniejszych pojęć i twierdzeń teorii multifunkcji oraz ich zastosowań w inkluzjach różniczkowych i teorii sterowania optymalnego. W książce omówiono podstawowe typy regularności multifunkcji, selekcje ciągłe i mierzalne oraz punkty stałe multifunkcji. Materiał jest ilustrowany licznymi przykładami oraz rysunkami. Na końcu każdego rozdziału umieszczono zadania do samodzielnej pracy. Książka powstała na bazie wykładów, które Autor prowadził kilkakrotnie na Wydziale Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej. Publikacja jest przeznaczona dla studentów wydziałów matematyki politechniki i uniwersytetów, doktorantów oraz pracowników naukowych, którzy chcą poznać tę dziedzinę lub też wzbogacić swoją wiedzę.

Spis treści

Wstęp 9

Oznaczenia 11

Wiadomości wstępne 13

1. Podstawowe pojęcia i przykłady multifunkcji 13

2. Obrazy i przeciwobrazy 17

3. Multifunkcje ciągłe, lipschitzowskie i kontrakcje 19

4. Ćwiczenia 21

Rozdział 1. Multifunkcje półciągłe z dołu i z góry 23

1. Podstawowe definicje i własności 23

2. Półciągłość z góry i z dołu w przestrzeniach metrycznych 28

3. Półciągłość z góry i z dołu w przestrzeniach Banacha 30

4. Twierdzenie Michaela o ciągłych selekcjach 33

5. Ćwiczenia 39

Rozdział 2. Multifunkcje mierzalne 41

1. Definicje i własności 41

2. Mierzalność w przestrzeniach Banacha 44

3. Mierzalne selekcje 45

4. Multifunkcje mierzalne o wypukłych wartościach 48

5. Związek mierzalności z półciągłością z góry i z dołu 52

6. Ćwiczenia 53

Rozdział 3. Multifunkcje typu Carath´eodory’ego 55

1. Funkcje łącznie mierzalne 55

2. Multifunkcje łącznie mierzalne 57

3. Selekcje typu Carath´eodory’ego w przestrzeniach Banacha 60

4. Ćwiczenia 63

Rozdział 4. Punkty stałe odwzorowań wielowartościowych 65

1. Przypadek odwzorowań punktowych 65

2. Przypadek wielowartościowy 67

3. Ćwiczenia 74

Rozdział 5. Całki Aumanna 75

1. Twierdzenie Aumanna 75

2. Twierdzenie Olecha 78

3. Całki Aumanna z multifunkcji łącznie mierzalnych 85

4. Ćwiczenia 86

Rozdział 6. Inkluzje różniczkowe 87

1. Inkluzje z prawą stroną półciągłą z góry 88

2. Inkluzje z prawą stroną półciągłą z dołu 90

3. Inkluzje z lipschitzowską prawą stroną 91

4. Lemat Filippova 93

5. Twierdzenie relaksacyjne Filippova-Ważewskiego 97

6. Retrakcje zbioru rozwiązań 99

7. Ćwiczenia 100

Rozdział 7. Multifunkcje w sterowaniu optymalnym 103

1. Układy sterowania, a inkluzje różniczkowe 103

2. Sterowanie optymalne układami liniowymi 104

3. Ćwiczenia 107

Dodatek. Dodatek 109

1. Elementy analizy funkcjonalnej 109

2. Elementy analizy wypukłej 117

3. Miary 126

4. Ćwiczenia 136

Dodatek. Rozwiązania ćwiczeń 139

Wiadomości wstępne 139

Multifunkcje półciągłe z dołu i góry 142

Multifunkcje mierzalne 146

Multifunkcje typu Carath´eodory’ego 148

Punkty stałe odwzorowań wielowartościowych 150

Całki Aumanna 150

Inkluzje różniczkowe 151

Multifunkcje w sterowaniu optymalnym 153

Dodatek 154

Bibliografia 159

Skorowidz 161