Markowe wykłady z matematyki Analiza

Opis

Markowe wykłady z matematyki Analiza

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Marek Zakrzewski

 

,,Analiza” to pierwszy podręcznik z serii ,,Markowe wykłady z matematyki”. Czytelnik poznaje w nim elementy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej – granice, pochodne, całki, szeregi oraz podstawy równań różniczkowych, ale przy okazji dowiaduje się, jak obliczyć pi, oblicza objętość torusa, a także kuli n – wymiarowej. Poznaje zastosowania równań różniczkowych, uczy się podstaw szeregów Fouriera i transformaty Laplace’a.

 

Spis treści

Wstęp xv

I Analiza z lotu ptaka: granica, pochodna i całka 1

1 Prolog 5

1.1 Odkrywanie wzorów i zasada indukcji . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Dwumian Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Granica ciągu 19

2.1 Intuicje i rachunki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Trochę teorii i algorytm Herona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Liczba π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Granica i ciągłość. Eksponenta i logarytm naturalny 33

3.1 Granice, asymptoty i aproksymacje . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Ciągłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Eksponenta, logarytm naturalny i okres podwojenia . . . . . . 42

4 Pochodna: pierwsze podejście 47

4.1 Pochodna i prędkość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Geometryczne spojrzenie na pochodną . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Wykresy wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Kartezjusz i Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Całka: pierwsze podejście 63

5.1 Całka oznaczona — nieformalne wprowadzenie . . . . . . . . . 63

5.2 Całka nieoznaczona i wzór Newtona-Leibniza . . . . . . . . . . 68

5.3 O sumowaniu potęg: dwie aproksymacje . . . . . . . . . . . . . 72

II Pochodne i aproksymacje 75

6 Obliczanie pochodnych 79

6.1 Pochodna iloczynu i pochodna ilorazu . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Pochodna funkcji złożonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3 Funkcja odwrotna i jej pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Funkcje trygonometryczne i kołowe 89

7.1 Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2 Funkcje kołowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8 Kilka twierdzeń o istnieniu 97

8.1 Dwa twierdzenia o ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.2 Twierdzenia Lagrange’a i jego konsekwencje . . . . . . . . . . . 101

8.3 Reguły de l’Hospitala i twierdzenie Cauchy’ego . . . . . . . . . 105

8.4 Lagrange, Cauchy i Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9 Monotoniczność, ekstrema i wypukłość 111

9.1 Monotoniczność i ekstrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.2 Zadania na maksimum i minimum. Izoperymetria . . . . . . . . 117

9.3 Wypukłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10 Aproksymacje wielomianowe 123

10.1 Aproksymacje liniowe i wzór Taylora . . . . . . . . . . . . . . . 123

10.2 Rozwinięcia Maclaurina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

10.3 Krótki dowód wzoru Taylora* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10.4 Anglicy i Szkoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11 Przybliżone rozwiązywanie równań 133

11.1 Połowienie przedziału i pierwiastki wielomianów . . . . . . . . 133

11.2 Metoda Newtona i algorytm Herona . . . . . . . . . . . . . . . 136

III Całka: pole, długość i objętość 139

12 Całka oznaczona 143

12.1 Definicja i własności całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . 143

12.2 Wzór Newtona-Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

12.3 Twierdzenie o postaci funkcji pierwotnej . . . . . . . . . . . . . 152

13 Techniki całkowania 155

13.1 Całkowanie przez podstawienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

13.2 Całkowanie przez części i redukcje . . . . . . . . . . . . . . . . 160

13.3 Newton i Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

14 Całkowanie funkcji wybranych klas 165

14.1 Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

14.2 Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . 170

14.3 Funkcje hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

15 Pola, długości i objętości 179

15.1 Pole figury i długość krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

15.2 Bryły obrotowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

15.3 Dwaj Jezuici: Guldin i Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

16 Metody przybliżone 191

16.1 Cztery proste metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

16.2 Reguła Simpsona i obliczanie π . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

16.3 Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

17 Całki niewłaściwe 197

17.1 Całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

17.2 Kryteria zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

17.3 Nadzwyczaj użyteczna całka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

18 Objętość kuli i funkcja gamma* 207

18.1 Objętość kuli n-wymiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

18.2 Funkcja gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

19 Wzór Stirlinga i wzór Wallisa* 215

19.1 Wzór Stirlinga i aproksymacje całkowe . . . . . . . . . . . . . . 215

19.2 Wzór Wallisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

IV Szeregi 221

20 Szeregi i iloczyny 225

20.1 Szereg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

20.2 Szereg harmoniczny i szeregi pokrewne . . . . . . . . . . . . . . 229

20.3 Iloczyny nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

20.4 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

21 Kryteria zbieżności szeregów 237

21.1 Uogólniony szereg harmoniczny i kryterium całkowe . . . . . . 237

21.2 Dwa dalsze kryteria: porównawcze i ilorazowe . . . . . . . . . . 239

21.3 Dwa typy zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

21.4 Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . 245

21.5 O rozmieszczeniu liczb pierwszych* . . . . . . . . . . . . . . . . 247

21.6 D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

22 Szeregi potęgowe 249

22.1 Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina . . . . . . . . . . . . . 250

22.2 Funkcje zadane szeregiem potęgowym . . . . . . . . . . . . . . 255

23 Operacje na szeregach i wzór Leibniza 259

23.1 Operacje na szeregach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

23.2 Wzór Leibniza i obliczanie π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

23.3 Szalone rachunki Leonarda Eulera* . . . . . . . . . . . . . . . . 267

24 Liczby zespolone i funkcje przestępne 269

24.1 Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

24.2 Eksponenta zespolona i najpiękniejszy wzór matematyki . . . . 272

24.3 Liczby zespolone, logarytmy i całki* . . . . . . . . . . . . . . . 275

25 Szeregi Fouriera 279

25.1 Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

25.2 Kwestie zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

25.3 Fourier, Dirichlet i Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

V Krótkie spojrzenie na równania różniczkowe 291

26 Równania o zmiennych rozdzielonych 295

26.1 Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

26.2 Technika rozwiązywania równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

27 Równanie rozpadu i modele wzrostu populacji 301

27.1 Równanie rozpadu i jego warianty . . . . . . . . . . . . . . . . 301

27.2 Modele wzrostu populacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

28 Liniowość i układy drgające 309

28.1 Równania liniowe I rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

28.2 Równania liniowe II rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

28.3 Równanie układu drgającego* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

28.4 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

29 Równania różniczkowe i szeregi 321

29.1 Znane równania — nowe podejście . . . . . . . . . . . . . . . . 321

29.2 Trudne równania i funkcje specjalne* . . . . . . . . . . . . . . . 325

30 Transformata Laplace’a 329

30.1 Wzory i własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

30.2 Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

31 Epilog 337

31.1 Co już wiemy … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

31.2 … a czego nie wiemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Odpowiedzi i wskazówki 339

Indeks 353