Markowe wykłady z matematyki Algebra z geometrią

Opis

Markowe wykłady z matematyki Algebra z geometrią

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Marek Zakrzewski

 

,,Algebra z geometrią” – trzeci tom z serii ,,Markowe wykłady z matematyki” – to podstawowy wykład geometrii analitycznej i algebry liniowej oraz wprowadzenie do algebry abstrakcyjnej. W szczególności Czytelnik poznaje liczby zespolone, rachunek macierzowy, podstawowe struktury algebraiczne, elementy teorii Galois. Ponadto omówiono liczne zastosowania m.in. do wyznaczania rangi stron www, teori kodowania i procesów Markowa.

 

Spis treści

I Liczby zespolone i równania 1

1 Liczby zespolone 5

1.1 Działania na liczbach zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Interpretacja geometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Matematycy włoskiego renesansu . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Wzór de Moivre’a i pierwiastki z jedności 13

2.1 Postać trygonometryczna i wzór de Moivre’a . . . . . . . . . . 13

2.2 Pierwiastki n-tego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Pierwiastki z jedności a wielokąty foremne* . . . . . . . . . . . 18

3 Wielomiany i Zasadnicze Twierdzenie Algebry 21

3.1 Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Zasadnicze Twierdzenie Algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Równania algebraiczne trzeciego stopnia* . . . . . . . . . . . . 27

4 Prosta i krzywe stożkowe 29

4.1 Równanie prostej i równanie okręgu . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Krzywe stożkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Stożkowe a równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Trzeci wymiar 39

5.1 Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Proste i płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Euklides i jego Elementy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II Układy równań liniowych, macierze i wyznaczniki 49

6 Układy równań liniowych i metoda eliminacji 53

6.1 Układy oznaczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Układy sprzeczne i nieoznaczone . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Macierze 59

7.1 Algebra macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3 Odwracanie macierzy a metoda eliminacji . . . . . . . . . . . . 66

8 Wyznaczniki 69

8.1 Określenie wyznacznika i najprostsze obliczenia . . . . . . . . . 69

8.2 Własności wyznaczników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3 Dwa bardzo ważne twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Rozwinięcie Laplace’a i jego konsekwencje 79

9.1 Rozwinięcie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.2 Wzór na macierz odwrotną . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.3 Wzory Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.4 Takakazu Seki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10 Pola, objętości i wyznaczniki 87

10.1 Pole równoległoboku i orientacja płaszczyzny . . . . . . . . . . 87

10.2 Iloczyn wektorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.3 Iloczyn mieszany i objętość równoległościanu . . . . . . . . . . 94

10.4 Matematycy z Wysp: Hamilton i Cayley . . . . . . . . . . . . . 96

III Przestrzenie liniowe i układy równań 97

11 Przestrzenie liniowe 101

11.1 Określenia i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.2 Podprzestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12 Niezależność, baza i wymiar 109

12.1 Kombinacje liniowe i niezależność . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12.2 Baza i wymiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12.3 Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

13 Układy równań i podprzestrzenie liniowe R

n 119

13.1 Rząd macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

13.2 Podprzestrzenie afiniczne i twierdzenie Kroneckera-Capellego . 122

13.3 Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

14 Iloczyn skalarny i przestrzenie euklidesowe 127

14.1 Iloczyn skalarny i norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

14.2 Ortogonalność i kąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

14.3 Bazy ortonormalne i ortogonalizacja Grama-Schmidta . . . . . 134

14.4 Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

15 Rzut ortogonalny i metoda najmniejszych kwadratów* 139

15.1 Rzut ortogonalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

15.2 Metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . 142

IV Przekształcenia liniowe i ortogonalne 147

16 Przekształcenia liniowe 151

16.1 Określenia i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

16.2 Przekształcenia liniowe a macierze . . . . . . . . . . . . . . . . 154

16.3 Jądro i obraz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . 159

17 Wektory własne, diagonalizacja i potęgowanie macierzy 163

17.1 Wektory i wartości własne, wielomian charakterystyczny . . . . 163

17.2 Diagonalizacja i potęgowanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . 167

18 Zastosowania diagonalizacji i wektorów własnych 173

18.1 Sieci i rankingi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

18.2 Dyskretne układy dynamiczne i procesy Markowa . . . . . . . . 175

18.3 Układy równań różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

19 Przekształcenia ortogonalne 183

19.1 Przekształcenia i macierze ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . 183

19.2 Przekształcenia ortogonalne na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . 188

19.3 Przekształcenia ortogonalne w przestrzeni . . . . . . . . . . . . 191

V Grupy i symetrie 193

20 Symetrie figur i pojęcie grupy 197

20.1 Symetrie figur i grupy przekształceń . . . . . . . . . . . . . . . 197

20.2 Ogólne pojęcie grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

20.3 Kilka prostych, ale ważnych twierdzeń . . . . . . . . . . . . . . 204

21 Podgrupy, iloczyny i twierdzenie Lagrange’a 207

21.1 Podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

21.2 Grupy cykliczne i iloczyn grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

21.3 Twierdzenie Lagrange’a i rozbicia na warstwy . . . . . . . . . . 212

21.4 Noether i van der Waerden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

22 Izomorfizm i struktura grup 217

22.1 Izomorfizm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

22.2 Generatory i relacje* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

23 Grupy permutacji i symetrie wielościanów 223

23.1 Permutacje i grupa symetryczna Sn . . . . . . . . . . . . . . . . 223

23.2 Parzystość permutacji i grupy alternujące An . . . . . . . . . . 225

23.3 Symetrie wielościanów platońskich . . . . . . . . . . . . . . . . 228

24 Dzielniki normalne, homomorfizmy i grupy ilorazowe* 233

24.1 Elementy sprzężone i dzielniki normalne . . . . . . . . . . . . . 233

24.2 Grupy proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

24.3 Homomorfizmy i grupy ilorazowe* . . . . . . . . . . . . . . . . 238

25 Lemat CFB i skończone grupy symetrii* 241

25.1 Lemat o orbitach i lemat CFB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

25.2 Skończone grupy symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

VI Pierścienie, ciała i teoria Galois 251

26 Pierścienie, ciała i wielomiany 255

26.1 Pierścienie i ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

26.2 Pierścienie wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

27 Pierścienie ilorazowe i ciała skończone 263

27.1 Konstrukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

27.2 Kwestie istnienia* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

28 Ciała skończone i teoria kodowania 269

28.1 Kod Hamminga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

28.2 Kody BCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

29 Wprowadzenie do teorii Galois* 275

29.1 Rozszerzenia ciała liczb wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . 276

29.2 Automorfizmy ciał i grupa Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

29.3 Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

30 Nierozwiązywalne równania i niewykonalne konstrukcje* 283

30.1 Nierozwiązalność równań piątego stopnia . . . . . . . . . . . . . 283

30.2 Konstrukcje geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

30.3 Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Odpowiedzi i wskazówki 289

Indeks 307