Podstawy teorii liniowych układów sterowania w automatyce Część I Układy ciągłe

Opis

Podstawy teorii liniowych układów sterowania w automatyce. Część I. Układy ciągłe

autor: Mirosław Tomera

Wydawnictwo Uniwersytet Morski w Gdyni

 

Publikacja autorstwa Mirosława Tomery pt. „Podstawy teorii liniowych układów sterowania w automatyce. Część I. Układy ciągłe” jest podręcznikiem do nauki teorii sterowania z zakresu analizy układów liniowych ciągłych. Zaprezentowano w niej struktury teorii sterowania oraz metodologię projektowania układów sterowania bazującą na podstawach matematycznych, a także praktyczne projektowanie układów sterowania.

Książka składa się z 10 rozdziałów. W rozdziale 1 wprowadzone zostały podstawowe pojęcia i słowa kluczowe związane z teorią układów sterowania, a także przedstawiona została krótka historia rozwoju teorii i praktyki układów sterowania od czasów antycznych aż po współczesne. Rozdział 2 poświęcony jest modelowaniu matematycznemu układów fizycznych. W rozdziale 3 przedstawione są podstawy matematyczne stanowiące fundament teorii układów liniowych ciągłych. Tematem omówionym w rozdziale 4 jest modelowanie matematyczne układów sterowania w postaci transmitancji i schematów blokowych. W rozdziale 5 omówiona została analiza układów liniowych prowadzona w przestrzeni zmiennych stanu. Klasyczne metody badania stabilności liniowych układów jednowymiarowych, stacjonarnych ciągłych przedstawione są w rozdziale 6. Rozdział 7 obejmuje analizowanie układów sterowania ciągłego w dziedzinie czasu. W rozdziale 8 opisany został sposób konstruowania linii pierwiastkowych dla układów sterowania liniowego. Metody analizy liniowych układów sterowania w dziedzinie częstotliwości są omówione w rozdziale 9. Rozdział 10 jest poświęcony metodom projektowania liniowych układów sterowania ciągłego. Każdy rozdział jest zakończony zagadnieniami kontrolnymi oraz bogatym zestawem zadań do samodzielnego wykonania.

Praca została napisana przede wszystkim z myślą o studentach Uniwersytetu Morskiego w Gdyni jako pomoc dydaktyczna do prowadzenia wykładów i ćwiczeń z podstaw automatyki, automatyki i robotyki, komputerowych systemów sterowania oraz cyfrowych układów sterowania. Oczywiście, kręgu odbiorców książki nie ogranicza się tylko do grupy studentów i może ona być pomocą w samokształceniu dla wszystkich zainteresowanych tą tematyką.

 

SPIS TREŚCI

Strona

PRZEDMOWA……….. 11

1. WPROWADZENIE DO TEMATYKI UKŁADÓW STEROWANIA.. 15

1.1. Wprowadzenie ….. 15

1.2. Krótka historia rozwoju sterowania automatycznego…… 16

1.3. Pojęcia podstawowe …… 20

1.4. Prosty układ sterowania …… 23

1.5. Efekty zastosowania sprzężenia zwrotnego…… 25

1.5.1. Wpływ sprzężenia zwrotnego na wzmocnienie całkowite… 25

1.5.2. Wpływ sprzężenia zwrotnego na stabilność… 26

1.5.3. Wpływ sprzężenia zwrotnego na wrażliwość …. 27

1.5.4. Wpływ sprzężenia zwrotnego na zdolność tłumienia

oddziaływania zakłóceń zewnętrznych i szumów…. 27

1.6. Metody klasyfikacji stosowane w teorii sterowania …28

1.6.1. Układy statyczne i dynamiczne….. 29

1.6.2. Układy stacjonarne i niestacjonarne ….. 30

1.6.3. Układy liniowe i nieliniowe …30

1.6.4. Układy o stanach ciągłych i stanach dyskretnych …. 31

1.6.5. Układy deterministyczne i stochastyczne … 31

1.6.6. Układy ciągłe i dyskretne… 31

1.7. Zagadnienia kontrolne …. 32

2. MODELOWANIE MATEMATYCZNE UKŁADÓW

FIZYCZNYCH ….. 34

2.1. Wprowadzenie …… 34

2.2. Modele opisujące obwody elektryczne…. 34

2.3. Modelowanie układów mechanicznych….. 41

2.4. Czujniki stosowane w układach sterowania…… 46

2.4.1. Potencjometry. 46

2.4.2. Tachoprądnice … 47

2.4.3. Enkodery….. 47

2.5. Silniki prądu stałego…. 47

2.6. Modele przepływu ciepła…… 51

2.7. Magazynowanie i przepływ cieczy … 52

2.8. Linearyzacja układów nieliniowych….. 55

2.9. Złożone układy mechaniczne … 58

2.10. Zagadnienia kontrolne…… 63

2.11. Zadania do samodzielnego rozwiązania …. 64

4 M. Tomera, Podstawy teorii liniowych układów sterowania w automatyce

3. PODSTAWY MATEMATYCZNE …. 66

3.1. Wprowadzenie …… 66

3.2. Funkcje zespolone …… 66

3.2.1. Zmienna zespolona ……. 66

3.2.2. Funkcje zmiennej zespolonej …. 67

3.2.3. Funkcja analityczna .. 68

3.2.4. Nieokreśloności i bieguny funkcji…. 68

3.2.5. Zera funkcji……. 69

3.3. Równania różniczkowe….. 69

3.3.1. Liniowe równania różniczkowe … 69

3.3.2. Nieliniowe równania różniczkowe …. 73

3.3.3. Równania różniczkowe pierwszego rzędu: równania stanu… 74

3.3.4. Wektorowo-macierzowa postać równań stanu..76

3.4. Przekształcenie Laplace’a….. 76

3.4.1. Definicja przekształcenia Laplace’a … 77

3.4.2. Odwrotne przekształcenie Laplace’a ….. 82

3.4.3. Ważne twierdzenia dotyczące przekształcenia Laplace’a… 83

3.5. Wyznaczanie oryginału transformaty Laplace’a … 86

3.5.1. Analityczny rozkład transformaty złożonej na ułamki proste…… 88

3.5.2. Rozkład funkcji operatorowej z wykorzystaniem komputera …… 94

3.6. Zastosowanie przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania

równań różniczkowych….. 98

3.7. Zagadnienia kontrolne…… 101

3.8. Zadania do samodzielnego rozwiązania …… 102

4. TRANSMITANCJA, SCHEMATY BLOKOWE… 107

4.1. Wprowadzenie …. 107

4.2. Transmitancja układów liniowych ….. 107

4.2.1. Transmitancja operatorowa …. 108

4.2.2. Składniki odpowiedzi impulsowej układu …110

4.2.3. Wyznaczanie zer i biegunów transmitancji w programie

MATLAB…. 117

4.3. Elementy składowe schematu blokowego …. 118

4.4. Zasady przekształacania schematów blokowych .. 119

4.5. Wyznaczanie transmitancji wypadkowych przy użyciu programu

MATLAB …….. 123

4.6. Wyznaczanie transmitancji wypadkowej przy użyciu reguły

wzmocnień Masona …… 126

4.7. Zagadnienia kontrolne ….. 129

4.8. Zadania do samodzielnego rozwiązania … 129

5. RÓWNANIA STANU I WYJŚCIA….. 139

5.1. Wprowadzenie ….. 139

5.2. Wektorowo-macierzowy opis układów liniowych stacjonarnych… 140

5.3. Zmienne stanu układu dynamicznego … 141

5.4. Równanie tranzycji stanu…… 144

5.5. Rozwiązanie równania stanu….. 147

5.6. Zależność pomiędzy równaniami stanu a równaniem różniczkowym

wyższego rzędu …. 149

5.7. Zależność pomiędzy równaniami stanu a transmitancją… 151

5.8. Równanie charakterystyczne….153

5.8.1. Równanie charakterystyczne uzyskiwane na podstawie

równania różniczkowego …. 153

5.8.2. Równanie charakterystyczne uzyskiwane na podstawie

transmitancji… 153

5.8.3. Równanie charakterystyczne uzyskiwane na podstawie

równań stanu … 154

5.9. Wartości i wektory własne….. 154

5.9.1. Wartości własne ….. 154

5.9.2. Wektory własne…….. 154

5.10. Przekształcanie równań stanu przez podobieństwo … 157

5.10.1. Postać kanoniczna sterowalna …. 158

5.10.2. Postać kanoniczna obserwowalna .. 160

5.10.3. Postać kanoniczna diagonalna…… 163

5.10.4. Postać kanoniczna diagonalna Jordana .. 165

5.11. Dekompozycja transmitancji .. 166

5.11.1. Dekompozycja bezpośrednia …. 168

5.11.2. Dekompozycja równoległa do postaci kanonicznej

diagonalnej …. 174

5.11.3. Dekompozycja kaskadowa …. 177

5.12. Sterowalność układów liniowych … 179

5.12.1. Ogólna koncepcja sterowalności…180

5.12.2. Definicja sterowalności .. 181

5.12.3. Metody badania sterowalności…… 182

5.13. Obserwowalność układów liniowych … 184

5.13.1. Definicja obserwowalności……. 184

5.13.2. Metody badania obserowalności……. 184

5.14. Zależność pomiędzy sterowalnością, obserwowalnością

i transmitancją……. 187

6 M. Tomera, Podstawy teorii liniowych układów sterowania w automatyce

5.15. Zagadnienia kontrolne….. 189

5.16. Zadania do samodzielnego rozwiązania….. 190

6. STABILNOŚĆ UKŁADÓW STEROWANIA LINIOWEGO….. 194

6.1. Wprowadzenie … 194

6.2. Stabilnośc typu ograniczone wejście – ograniczone wyjście.. 194

6.3. Stabilnośc asymptotyczna układów ciągłych…. 196

6.4. Metody określania stabilności zamkniętego układu regulacji. 198

6.5. Kryterium Hurwitza i Routha …… 199

6.5.1. Kryterium Hurwitza….. 200

6.5.2. Tablica Routha … 200

6.5.3. Przypadki szczególne tablicy Routha …. 203

6.6. Układy ze strojonymi parametrami …. 208

6.7. Zagadnienia kontrolne ……. 210

6.8. Zadania do samodzielnego rozwiązania 211

7. ANALIZA UKŁADÓW STEROWANIA W DZIEDZINIE CZASU 216

7.1. Wprowadzenie ……. 216

7.2. Typowe sygnały testowe stosowane w układach sterowania….. 217

7.2.1. Wejściowa funkcja skokowa……… 218

7.2.2. Wejściowa funkcja liniowo narastająca w czasie….. 219

7.2.3. Wejściowa funkcja paraboliczna … 219

7.3. Uchyb w stanie ustalonym w liniowych układach ciągłych  220

7.3.1. Typy układów sterowania ……. 222

7.3.2. Sygnał zadany o postaci funkcji skokowej …. 222

7.3.3. Sygnał zadany o postaci funkcja liniowo narastającej….. 223

7.3.4. Sygnał zadany o postaci paraboli …… 223

7.4. Jednostkowa odpowiedź skokowa i czasowe wskaźniki jakości … 229

7.5. Odpowiedź przejściowa prototypowego układu II rzędu ….. 231

7.5.1. Przekształcanie wymagań projektowych prototypowego

układu II rzędu na płaszczyznę s…….. 236

7.6. Wpływ dodatkowych zer i biegunów na odpowiedzi czasowe

prototypowego układu II rzędu . 239

7.6.1. Dodatkowy biegun transmitancji w torze bezpośrednim… 239

7.6.2. Dodanie bieguna do transmitancji układu zamkniętego …. 241

7.6.3. Dodanie zera do transmitancji układu zamkniętego …. 242

7.6.4. Dodatkowe zero w transmitancji w torze bezpośrednim ..244

7.7. Dominujące bieguny transmitancji…… 245

7.8. Zagadnienia kontrolne………. 247

7.9. Zadania do samodzielnego rozwiązania… 248

8. LINIE PIERWIASTKOWE…..258

8.1. Wprowadzenie ….. 258

8.2. Podstawowe własności linii pierwiastkowych ….. 259

8.3. Własności i konstrukcja linii pierwiastkowych.. 263

8.3.1. Punkty dla K = 0 oraz K =

 ….. 263

8.3.2. Liczba gałęzi na linii pierwiastkowej ….. 264

8.3.3. Symetria linii pierwiastkowej….. 264

8.3.4. Kąty asymptot linii pierwiastkowej…. 266

8.3.5. Punkty przecięcia asymptot… 266

8.3.6. Linie pierwiastkowe na osi liczb rzeczywistych … 268

8.3.7. Kąty wyjścia i kąty wejścia linii pierwiastkowych….. 269

8.3.8. Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych.. 271

8.3.9. Punkty rozgałęzień na liniach pierwiastkowych … 271

8.3.10.Obliczanie K z linii pierwiastkowej…… 274

8.3.11. Zasady konstruowania linii pierwiastkowych …. 275

8.4. Zagadnienia kontrolne ……. 285

8.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania ….. 285

9. ANALIZA UKŁADÓW STEROWANIA W DZIEDZINIE

CZĘSTOTLIWOŚCI…… 290

9.1. Wprowadzenie ………290

9.2. Odpowiedź częstotliwościowa układów z pętlą zamknietą …. 291

9.3. Wskaźniki jakości definiowane w dziedzinie częstotliwości… 293

9.4. Częstotliwościowe wskaźniki jakości prototypowego układu II rzędu .. 294

9.5. Wpływ dodatkowych zer i biegunów na charakterystyki

częstotliwościowe prototypowego układu II rzędu … 300

9.5.1. Dodatkowy biegun transmitancji w torze bezpośrednim. 300

9.5.2. Dodanie bieguna do transmitancji układu zamkniętego . 301

9.5.3. Dodanie zera do transmitancji układu zamkniętego …. 302

9.5.4. Dodatkowe zero transmitancji w torze bezpośrednim… 303

9.6. Wykresy Bodego………. 304

9.6.1. Wykresy Bodego dla układów minimalnofazowych .. 306

9.6.2. Wykresy Bodego dla układów nieminimalnofazowych .. 317

9.6.3. Stabilność neutralna……. 318

9.7. Kryterium stabilności Nyquista.. 320

9.7.1. Problem stabilności ….. 321

8 M. Tomera, Podstawy teorii liniowych układów sterowania w automatyce

Strona

9.7.2. Zasada argumentu….. 322

9.7.3. Kontur Nyquista ……. 324

9.7.4. Wykres transmitancji pętli …… 324

9.8. Ogólne kryterium Nyquista dla transmitancji minimalnofazowej

i nieminimalnofazowej ……. 326

9.8.1. Układ z minimalnofazową transmitancją pętli…… 329

9.9. Stabilność liniowych układów sterowania z czasem opóźnienia ..331

9.9.1. Trajektoria krytyczna….. 336

9.10. Stabilność względna: zapas wzmocnienia i zapas fazy…… 338

9.10.1. Zapas wzmocnienia… 338

9.10.2. Zapas fazy… 340

9.10.3. Zapas fazy w prototypowym układzie II rzędu .. 342

9.10.4. Zapasy wzmocnienia i fazy wyznaczane na podstawie

charakterystyk częstotliwościowych Bodego …. 343

9.10.5. Charakterystyki Bodego układów z opóźnieniem……345

9.11. Zagadnienia kontrolne….. 353

9.12. Zadania do samodzielnego rozwiązania……. 354

10. PROJEKTOWANIE UKŁADÓW STEROWANIA… 362

10.1. Wprowadzenie … 362

10.1.1. Wymagania projektowe ….. 362

10.1.2. Konfiguracje układów sterowania …. 364

10.1.3. Fundamentalne zasady projektowania …. 366

10.2. Cyfrowa implementacja algorytmów sterowania analogowego … 368

10.3. Algorytm regulatora PID….. 369

10.3.1. Regulator proporcjonalny (P)…. 369

10.3.2. Regulator proporcjonalno-całkujacy (PI)…. 370

10.3.3. Regulator proporcjonalno-różniczkujący (PD) …. 370

10.3.4. Regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący (PID) ..371

10.3.5. Ręczny dobór nastaw regulatora PID ….. 372

10.3.6. Eksperymentalny dobór nastaw regulatora PID ….. 373

10.3.7. Dobór nastaw z wykorzystaniem kryterium Routha… 378

10.3.8. Konwersja ciągłego regulatora PID na postać cyfrową 381

10.4. Projektowanie układów sterowania metodą linii pierwiastkowych .. 385

10.4.1. Korektor przyśpieszający fazę…… 386

10.4.2. Korektor opóźniający fazę ….. 389

10.4.3. Korektor wycinający………… 396

10.5. Projektowanie układów sterowania metodą charakterystyk

częstotliwościowych ….. 398

10.5.1. Korektor PD ….. 399

10.5.2. Korektor przyśpieszający fazę…… 400

10.5.3. Korektor PI….. 408

10.5.4. Korektor opóźniający fazę … 409

10.5.5. Korektor PID….. 415

10.6. Projektowanie układów sterowania metodą przestrzeni stanów…415

10.6.1. Znajdowanie prawa sterowania …417

10.6.2. Wprowadzanie sygnału zadanego ….422

10.6.3. Sposoby wyboru położenia biegunów wzorcowych…..424

10.6.4. Znajdowanie prawa sterowania przy użyciu funkcji

MATLAB-a……. 430

10.6.5. Projektowanie estymatora …. 431

10.6.6. Estymatory zredukowanego rzędu.. 439

10.6.7. Wybór biegunów dla estymatora….. 442

10.6.8. Znajdowanie wzmocnień estymatora przy użyciu MATLAB-a 445

10.6.9. Korektor: połączenie sterowania i estymacji… 447

10.6.10. Wprowadzenie sygnału zadanego do układu z estymatorem . 450

10.7. Sterowanie całkujące…. 453

10.8. Zagadnienia kontrolne… 456

10.9. Zadania do samodzielnego rozwiązania…… 459

LITERATURA ….. 481