Matematyka dawna i nowa Tom I Funkcje i przestrzenie

Opis

Matematyka dawna i nowa Tom I Funkcje i przestrzenie

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Marek Zakrzewski

 

Dwutomowa ,,Matematyka dawna i nowa” jest panoramicznym spojrzeniem na matematykę. Książka powstała na bazie siedmiu tomów autorskiej serii ,,Markowe wykłady z matematyki” i pozornie wygląda na ich skróconą wersję. Jednak jest to zasadniczo nowa książka. Ma inny cel oraz konstrukcję, a ponadto adresowana jest do nieco innego czytelnika. Publikacja przedstawia matematykę, jako pewną całość. Autor kładzie akcent na powiązania między jej różnymi działami, a przede wszystkim pokazuje naturalne motywacje dla zainteresowania się daną problematyką. Prosty język oraz troska o elementarność wykładu sprawiają, że książka jest dostępna dla studenta pierwszego roku matematyki, fizyki lub informatyki, a także dla ambitnych miłośników matematyki. Z drugiej strony rozległość tematyki i oryginalność ujęcia zainteresuje też starszych studentów oraz doktorantów. Każdy z tomów zawiera ponad 600 zadań. Do większości z nich dołączone są odpowiedzi lub wskazówki.

 

Spis treści

Wstęp xv

I Liczby 1

1 Liczby naturalne i zasada indukcji matematycznej 3

1.1 Odkrywanie wzorów i zasada indukcji . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Dwumian Newtona i Σ-notacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Liczby rzeczywiste i lemat Cantora 15

2.1 Liczby wymierne i niewymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Kresy i lemat Cantora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Ciągi i granice 21

3.1 Intuicje i rachunki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Trochę teorii i algorytm Herona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Liczba π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Szeregi geometryczne i ułamki łańcuchowe 32

4.1 Szeregi geometryczne i liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Ułamki łańcuchowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Przeliczalność, nieprzeliczalność i liczby kardynalne 38

5.1 Przeliczalność, nieprzeliczalność i hipoteza continuum . . . . . 38

5.2 Liczby kardynalne i twierdzenie Cantora . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 O liczbach przestępnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Pochodna, całka i twierdzenie Newtona-Leibniza 45

6 Pochodna 48

6.1 Pochodna, prędkość i podstawowe wzory . . . . . . . . . . . . . 48

6.2 Pierwsze zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3 Kartezjusz i Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7 Całka oznaczona 59

7.1 Nieformalne wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Definicja i własności całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.3 Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8 Całka nieoznaczona i wzór Newtona-Leibniza 69

8.1 Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.2 Wzór Newtona-Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.3 Newton i Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9 Ciągłość 77

9.1 Intuicje i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.2 Dwa formalizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.3 Jednostajna ciągłość i całkowalność funkcji ciągłych . . . . . . 85

9.4 Lagrange i Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

10 Od lematu Cantora do twierdzenia Lagrange’a . . . 88

10.1 Dwa twierdzenia o ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.2 Twierdzenia Lagrange’a i lemat o funkcji stałej . . . . . . . . . 92

10.3 Twierdzenie o wartości średniej dla całek i jego konsekwencje . 96

10.4 Zbiór Cantora i funkcja Cantora* . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

III Funkcje przestępne i aproksymacje 101

11 Funkcje przestępne i równania różniczkowe 103

11.1 Eksponenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

11.2 Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11.3 Dwa klasyczne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

12 Funkcje przestępne i całki 114

12.1 Logarytm naturalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

12.2 Funkcje kołowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

13 Aproksymacje liniowe, reguły de l’Hˆopitala i wypukłość 121

13.1 Aproksymacje liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

13.2 Wypukłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

13.3 Reguły de L’Hˆopitala i twierdzenie Cauchy’ego . . . . . . . . . 126

13.4 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

14 Aproksymacje wielomianowe i liczba e 131

14.1 Wzory Maclaurina i Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14.2 Rozwinięcia Maclaurina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.3 Liczba e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

14.4 Taylor i Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

15 W kręgu twierdzenia Weierstrassa 139

15.1 Twierdzenie Weierstrassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

15.2 Zbieżność punktowa a zbieżność jednostajna . . . . . . . . . . . 141

15.3 Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

IV Od technik całkowania do funkcji gamma

i transformaty Laplace’a 145

16 Techniki całkowania 147

16.1 Całkowanie przez podstawienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

16.2 Całkowanie przez części i redukcje . . . . . . . . . . . . . . . . 151

16.3 Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

17 Objętości, pola powierzchni i rzutowanie Merkatora 157

17.1 Zasada Cavalieriego i objętość kuli . . . . . . . . . . . . . . . . 157

17.2 Długość krzywej i pole powierzchni obrotowej . . . . . . . . . . 161

17.3 Kilka słów o kartografii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

18 Całki podwójne i współrzędne biegunowe 167

18.1 Całki podwójne i iterowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

18.2 Współrzędne biegunowe i zamiana zmiennych . . . . . . . . . . 171

19 Obszary nieograniczone i całki niewłaściwe 174

19.1 Całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

19.2 Kryteria zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

19.3 Nadzwyczaj użyteczna całka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

19.4 Crelle i Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

20 Aproksymacje całkowe i funkcja gamma 183

20.1 Aproksymacje całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

20.2 Funkcja gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

20.3 Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

21 Transformata Laplace’a 191

21.1 Własności transformaty Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . 191

21.2 Transformata Laplace’a i równania różniczkowe . . . . . . . . . 194

V Od aproksymacji do sum dokładnych: szeregi 199

22 Szeregi liczbowe 201

22.1 Szereg harmoniczny i kryterium całkowe . . . . . . . . . . . . . 201

22.2 Dwa dalsze kryteria: porównawcze i ilorazowe . . . . . . . . . . 206

22.3 Dwa typy zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

22.4 Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . 211

22.5 D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

23 Rozwinięcia Maclaurina 214

23.1 Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina . . . . . . . . . . . . . 215

23.2 Funkcje zadane szeregiem potęgowym . . . . . . . . . . . . . . 219

23.3 Dwa dowody niewymierności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

23.4 Hermite i Lindemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

24 Operacje na szeregach i wzór Leibniza 226

24.1 Operacje na szeregach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

24.2 Wzór Leibniza i obliczanie π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

24.3 Szalone rachunki Leonharda Eulera* . . . . . . . . . . . . . . . 233

24.4 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

25 Liczby zespolone i funkcje przestępne 236

25.1 Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

25.2 Liczby zespolone i funkcje przestępne . . . . . . . . . . . . . . . 239

25.3 Logarytm zespolony i wzór Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . 242

26 Szeregi Fouriera i ich zastosowania 244

26.1 Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

26.2 Kwestie zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

26.3 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

VI Geometria i aproksymacje 255

27 Przestrzenie liniowe 257

27.1 Określenia i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

27.2 Niezależność, baza i wymiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

27.3 Pierwsze zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

28 Norma, iloczyn skalarny i przestrzenie euklidesowe 270

28.1 Metryka i norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

28.2 Iloczyn skalarny i przestrzenie euklidesowe . . . . . . . . . . . . 273

28.3 Ortogonalność i kąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

29 Rzut ortogonalny i aproksymacje 279

29.1 Bazy ortonormalne i ortogonalizacja Grama-Schmidta . . . . . 279

29.2 Rzut ortogonalny i dopełnienie ortogonalne . . . . . . . . . . . 282

29.3 Aproksymacje i szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

29.4 Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

VII Macierze i przekształcenia liniowe 289

30 Macierze i metoda eliminacji 291

30.1 Działania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

30.2 Metoda eliminacji i odwracanie macierzy . . . . . . . . . . . . . 296

30.3 Macierze elementarne i kryterium odwracalności . . . . . . . . 301

31 Przekształcenia liniowe 304

31.1 Przekształcenia liniowe a macierze . . . . . . . . . . . . . . . . 304

31.2 Jądro i obraz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . 310

31.3 Przekształcenia liniowe L : F n → Fn. . . 312

32 Rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 314

32.1 Rząd macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

32.2 Układy równań liniowych i twierdzenie Kroneckera-Capellego . 318

33 Wyznaczniki 320

33.1 Małe wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

33.2 Własności wyznaczników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

33.3 Wzory Cramera i macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . 330

33.4 Takakazu Seki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

34 Wartości i wektory własne, diagonalizacja i potęgowanie . . . 335

34.1 Wartości i wektory własne, wielomian charakterystyczny . . . . 335

34.2 Diagonalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

34.3 Potęgowanie macierzy i twierdzenie Cayleya-Hamiltona . . . . . 343

35 Zastosowania diagonalizacji i wektorów własnych 346

35.1 Sieci i rankingi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

35.2 Dyskretne układy dynamiczne i procesy Markowa . . . . . . . . 348

36 Przekształcenia ortogonalne 354

36.1 Przekształcenia i macierze ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . 354

36.2 Przekształcenia ortogonalne na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . 359

36.3 Przekształcenia ortogonalne w przestrzeni . . . . . . . . . . . . 362

VIII Przestrzenie metryczne, topologia

i aksjomat wyboru 365

37 Przestrzenie metryczne 367

37.1 Metryki i zbiory otwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

37.2 Zbiory domknięte, domknięcie i wnętrze . . . . . . . . . . . . . 373

37.3 Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych . . . . . . . . . . 375

38 Zupełność i twierdzenie Baire’a 377

38.1 Własności przestrzeni zupełnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

38.2 Twierdzenie Baire’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

39 Przestrzenie topologiczne 382

39.1 Podstawowe pojęcia topologii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

39.2 Ciągłość i topologia podprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . 385

39.3 Topologia iloczynu kartezjańskiego i dwa klasyczne przykłady . 387

39.4 Przestrzenie ilorazowe, torus i butelka Kleina* . . . . . . . . . . 390

40 Aksjomaty przeliczalności i oddzielania 393

40.1 Aksjomaty przeliczalności i ośrodkowość . . . . . . . . . . . . . 393

40.2 Aksjomaty oddzielania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

41 Zwartość 399

41.1 Przestrzenie zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

41.2 Funkcje ciągłe na przestrzeniach zwartych . . . . . . . . . . . . 404

41.3 Zwartość w przestrzeniach metrycznych . . . . . . . . . . . . . 405

42 Spójność 410

42.1 Spójność i łukowa spójność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

42.2 Lokalna spójność i twierdzenie Hahna-Mazurkiewicza . . . . . . 413

43 Dwa twierdzenia o punkcie stałym 416

43.1 Twierdzenie Brouwera i jego zastosowania . . . . . . . . . . . . 416

43.2 Twierdzenie Banacha i równania różniczkowe . . . . . . . . . . 420

43.3 Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

44 Topologia przestrzeni funkcyjnych 426

44.1 Metryki na przestrzeniach funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . 426

44.2 Ciągłość przekształceń liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

45 Aksjomat wyboru i jego konsekwencje 432

45.1 Aksjomat wyboru i lemat Kuratowskiego-Zorna . . . . . . . . . 432

45.2 Dwa klasyczne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

Epilog 438

Uwagi o literaturze 443

Odpowiedzi i wskazówki 445

Indeks 472