Markowe wykłady z matematyki Analiza geometria i świat fizyczny

Opis

Markowe wykłady z matematyki Analiza geometria i świat fizyczny

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Marek Zakrzewski

 

,,Analiza, geometria i świat fizyczny” to kolejny tom z serii ,,Markowe wykłady z matematyki”. Książka obejmuje typowy materiał odpowiadający kursom Analiza matematyczna 2, Elementy analizy wektorowej oraz Funkcje zespolone. Akcent położony jest bardziej na rozumienie pojęć niż sprawność rachunkową. Każda z pięciu części kończy się przykładem poważnych zastosowań w fizyce bądź geometrii. Książka może służyć jako podstawowy podręcznik dla studentów uczelni technicznych, a także jako podręcznik uzupełniający dla studentów matematyki.

 

Spis treści

Wstęp

I Pochodne cząstkowe i ich zastosowania 1

1 Pojęcia wstępne 5

1.1 Funkcje wielu zmiennych i ich wykresy . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Kilka słów o podzbiorach R  … 9

1.3 Granica i ciągłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Pochodne cząstkowe i tematy pokrewne 13

2.1 Pochodne cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu i laplasjan . . . . . . . . . 17

3 Różniczkowalność i gradient 19

3.1 Płaszczyzna styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Różniczkowalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Gradient i pochodne kierunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Ekstrema 29

4.1 Ekstrema lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Nierówność o średnich i izoperymetria* . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Pochodna funkcji złożonej i zmiana układu współrzędnych 37

5.1 Pochodna funkcji złożonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Funkcje uwikłane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3 Zmiana układu współrzędnych i laplasjan . . . . . . . . . . . . 42

6 Trzy klasyczne równania fizyki matematycznej* 45

6.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 Równanie struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3 Równanie dyfuzji i szeregi Fouriera* . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4 Trzej Francuzi: d’Alembert, Laplace i Fourier . . . . . . . . . . 54

II Całki wielokrotne 55

7 Całki podwójne 59

7.1 Całka podwójna po prostokącie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Całki podwójna: przypadek ogólny . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3 Objętość bryły i wartość średnia funkcji . . . . . . . . . . . . . 68

8 Współrzędne biegunowe i zamiana zmiennych 71

8.1 Całki podwójne we współrzędnych biegunowych . . . . . . . . . 71

8.2 Dwa ważne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.3 Twierdzenie o zamianie zmiennych i jakobian . . . . . . . . . . 79

9 Prawo dźwigni i momenty 81

9.1 Momenty statyczne i środek masy . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.2 I reguła Pappusa-Guldina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.3 Prawo dźwigni a objętość kuli* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

10 Całki potrójne 89

10.1 Całki potrójne we współrzędnych kartezjańskich . . . . . . . . 89

10.2 Całki potrójne we współrzędnych walcowych i sferycznych . . . 92

10.3 Masa i momenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.4 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

11 Między geometrią a fizyką* 99

11.1 Funkcje wektorowe – prędkość i przyspieszenie . . . . . . . . . . 99

11.2 Krótko o stożkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

11.3 Prawa Keplera a teoria grawitacji . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

11.4 Galileusz, Kepler i Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

III Całki krzywoliniowe i twierdzenie Greena 109

12 Parametryzacja krzywych i długość łuku 113

12.1 Parametryzacja krzywych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12.2 Długość łuku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

13 Całka krzywoliniowa niezorientowana i jej zastosowania 119

13.1 Całka krzywoliniowa niezorientowana . . . . . . . . . . . . . . . 119

13.2 Środek masy i II reguła Pappusa-Guldina . . . . . . . . . . . . 123

14 Całki krzywoliniowe zorientowane 125

14.1 Określenie i podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . . 125

14.2 Wersor styczny i obliczanie całek . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15 Potencjał i pole potencjalne 133

15.1 Potencjał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

15.2 Niezależność całki od drogi całkowania . . . . . . . . . . . . . . 136

16 Twierdzenie Greena 139

16.1 Twierdzenie Greena dla krzywej zwyczajnej i jego uogólnienia . 139

16.2 Pierwsze zastosowania: całki, pola i potencjał . . . . . . . . . . 144

17 Twierdzenia Greena i świat fizyczny 147

17.1 Twierdzenie Greena w postaci normalnej, rotacja i dywergencja 147

17.2 Strumień i cyrkulacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

17.3 Dywergencja i rotacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

18 Twierdzenie Greena i geometria* 157

18.1 Pole wielokąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

18.2 Nierówność izoperymetryczna* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

18.3 Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

IV Całki powierzchniowe. Twierdzenia Stokesa

i Gaussa-Ostrogradskiego 163

19 Pole i parametryzacja płata 167

19.1 Płat w postaci jawnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

19.2 Parametryzacja płata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

20 Całka powierzchniowa niezorientowana i jej zastosowania 175

20.1 Całka powierzchniowa niezorientowana . . . . . . . . . . . . . . 175

20.2 Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

21 Całka powierzchniowa zorientowana 181

21.1 Orientacja powierzchni i definicja całki . . . . . . . . . . . . . . 181

21.2 Technika obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

22 Dwa fundamentalne twierdzenia 191

22.1 Dywergencja i rotacja w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . 191

22.2 Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego . . . . . . . . . . . . . . . 194

22.3 Twierdzenie Stokesa i potencjał . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

22.4 Green, Ostrogradski i Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

23 Elektryczność, magnetyzm i równania Maxwella* 203

23.1 Elektryczność i magnetyzm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

23.2 Równania Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

23.3 Fale elektromagnetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

23.4 Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

V Funkcje zespolone 211

24 Różniczkowalność i równania Cauchy’ego-Riemanna 215

24.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

24.2 Różniczkowalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

24.3 Równania Cauchy’ego-Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

24.4 Eksponenta i funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . 223

24.5 Cauchy i Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

25 Całka zespolona 227

25.1 Całka zespolona i jej własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

25.2 Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego . 231

26 Twierdzenie Cauchy’ego 235

26.1 Twierdzenie Cauchy’ego i funkcja pierwotna . . . . . . . . . . . 235

26.2 Logarytm zespolony i pierwiastek . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

27 Wzór całkowy Cauchy’ego i jego konsekwencje 241

27.1 Wzór całkowy Cauchy’ego i różniczkowalność pochodnej . . . . 241

27.2 Twierdzenie Liouville’a i Zasadnicze Twierdzenie Algebry . . . 245

27.3 Twierdzenie o wartości średniej na okręgu i zasada maksimum . 247

27.4 Funkcje harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

27.5 Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

28 Funkcje holomorficzne i szeregi potęgowe 253

28.1 Szeregi potęgowe i twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda . . . . . 253

28.2 Szeregi Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

29 Residua i ich zastosowania 263

29.1 Bieguny i residua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

29.2 Obliczanie całek niewłaściwych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

30 Funkcje zespolone okiem fizyka* 273

30.1 Pola wektorowe i funkcje zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . 274

30.2 Fizyczne spojrzenie na dwa twierdzenia . . . . . . . . . . . . . 277

Odpowiedzi i wskazówki 281

Indeks 291