Liczby, figury i inne a(bs)trakcje

Opis

Liczby, figury i inne a(bs)trakcje

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Marek Zakrzewski

 

W miarę wykształcony człowiek słyszał coś o teorii względności, o DNA, o ewolucji czy o tablicy Mendelejewa. Ale jego wiedza matematyczna z reguły kończy się na logarytmach, geometrii analitycznej bądź początkach analizy, czyli na matematyce XVII w. A najgłębsze znane ze szkoły twierdzenia — twierdzenie Pitagorasa i wzór na objętość kuli — mają ponad 2200 lat.

Absolwent szkoły średniej może sobie wyobrazić, czym zajmuje się fizyk, biolog czy historyk. Ale nawet absolwent wyższej uczelni nie bardzo wie, co właściwie robi matematyk. Niniejsza książka powinna dać pewne wyobrażenie o tym, czym zajmowali się matematycy przez ostatnie 400 lat, miejscami dochodzi nawet do tematyki uprawianej przez nich współcześnie.

Książka przeznaczona jest dla osób, które nie zajmują się matematyką zawodowo, ale chciałyby zorientować się, czym zajmują się matematycy. Mogą to być inżynierowie, biolodzy, lekarze, architekci, może historycy itp. i oczywiście uczniowie starszych klas szkoły średniej.

 

Spis treści

Czym zajmują się matematycy?

I Liczby 1

1 Liczby pierwsze 3

1.1 Twierdzenie Euklidesa i sito Eratostenesa . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Kilka pytań o liczby pierwsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Granica, logarytm naturalny i rozmieszczenie

liczb pierwszych 8

2.1 Pojęcie granicy i logarytm naturalny . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Rozmieszczenie liczb pierwszych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Dwa „łatwe” twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Sumy potęg i liczby wielokątne 15

3.1 Trzy twierdzenia o sumie potęg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Liczby wielokątne i twierdzenie Cauchy’ego . . . . . . . . . . . 18

3.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Kongruencje i rozpoznawanie pierwszości 21

4.1 Kongruencje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Dwa klasyczne twierdzenia: Wilsona i Fermata . . . . . . . . . 23

4.3 Rozpoznawanie pierwszości: test Fermata . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Protokoły kryptograficzne 28

5.1 Szyfry symetryczne i uzgadnianie klucza . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

II Figury i przestrzenie 35

6 Wielokąty foremne i parkietaże 37

6.1 Wielokąty foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Parkietaże płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 Upakowania na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.4 Gardner i Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Wzory Eulera i Picka 44

7.1 Wzór Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.2 Wzór Picka i wielokąty na kracie . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.3 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8 Wielościany 49

8.1 Wielościany platońskie i archimedesowe . . . . . . . . . . . . . 49

8.2 Parkietaże i upakowania w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . 52

9 Czwarty wymiar i wyżej 54

9.1 Hipersześcian i inne wielokomórki . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.2 Osobliwości wyższych wymiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10 Grupy symetrii 59

10.1 Symetrie wielokątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10.2 Grupy permutacji, izomorfizm i twierdzenie Cayleya . . . . . . 61

10.3 Grupy obrotów wielościanów platońskich* . . . . . . . . . . . . 63

10.4 Podgrupy i dzielniki normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

III Świat szeregów i funkcji 67

11 Szeregi liczbowe 70

11.1 Szereg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11.2 Szeregi harmoniczny, anharmoniczny i . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.3 . . . i szeregi pokrewne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

12 Pochodna 76

12.1 Pochodna i jej interpretacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

12.2 Obliczanie pochodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

12.3 Funkcje przestępne i równania różniczkowe . . . . . . . . . . . . 81

13 Funkcje przestępne i „najpiękniejszy wzór matematyki” 84

13.1 Aproksymacje wielomianowe i rozwinięcia Maclaurina . . . . . 84

13.2 Liczby zespolone i funkcje przestępne . . . . . . . . . . . . . . . 88

13.3 Szalone rachunki Leonharda Eulera* . . . . . . . . . . . . . . . 89

14 Całka oznaczona i wzór Newtona-Leibniza 92

14.1 Całka oznaczona: nieformalne wprowadzenie . . . . . . . . . . . 92

14.2 Funkcja pierwotna i wzór Newtona-Leibniza . . . . . . . . . . . 95

14.3 Newton i Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

15 Obliczanie stałych i wzór Leibniza 100

15.1 Wzór Mercatora, ln 2 i okres podwojenia . . . . . . . . . . . . . 100

15.2 Wzór Leibniza i obliczanie π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

15.3 Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

IV Dyskretne pytania XX wieku 107

16 Zasada szufladkowa, kolorowanie i twierdzenie Sylvestera 109

16.1 Zasada szufladkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

16.2 Kolorowanie, parzystość i polimina . . . . . . . . . . . . . . . . 111

16.3 Proste twierdzenie o prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

16.4 Erd˝os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

17 Twierdzenia ramseyowskie 115

17.1 Gra w trójkąty i liczby Ramseya . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

17.2 Twierdzenie van der Waerdena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

18 Trzy gry Conwaya: kropki, krzyżyki i żołnierze 120

18.1 Kropki i krzyżyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

18.2 Żołnierze Conwaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

18.3 Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

V Nieprzeliczalność, niezupełność i nieobliczalność 125

19 Przeliczalność, nieprzeliczalność i liczby przestępne 127

19.1 Zbiory przeliczalne i zbiory nieprzeliczalne . . . . . . . . . . . . 127

19.2 Liczby kardynalne i twierdzenie Cantora . . . . . . . . . . . . . 130

19.3 O liczbach przestępnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

19.4 Cantor i Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

20 Arytmetyka Peana i twierdzenie G¨odla 134

20.1 Arytmetyka jako system formalny . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

20.2 Twierdzenie G¨odla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

21 Granice obliczalności i problem stopu 140

21.1 Obliczalność i rozstrzygalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

21.2 Funkcja Rado i problem stopu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

21.3 G¨odel i Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

VI Analogia, abstrakcja i nowoczesność 147

22 Ciała liczbowe i teoria Galois* 149

22.1 Ciała liczbowe i rozkład wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . 150

22.2 Symetrie ciał i grupy Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

22.3 Abel i Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

23 Od algorytmu Herona do równań różniczkowych

i przestrzeni Banacha* 155

23.1 Algorytm Herona i punkty stałe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

23.2 Równania różniczkowe, iteracje i przestrzenie Banacha . . . . . 158

23.3 Polska szkoła matematyczna i Stefan Banach . . . . . . . . . . 162

Odpowiedzi 165

Indeks 174