Dyskretny urok matematyki

Opis

Dyskretny urok matematyki

Ma tematyka nie tylko dla matematyków

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Marek Zakrzewski

 

Książka przedstawia szerokie spojrzenie na matematykę, w tym na podstawy rachunku różniczkowego i całkowego oraz elementy matematyki współczesnej takie, jak teoria mnogości, teoria obliczeń czy teoria gier. Szczególny nacisk położono na konkretne interesujące problemy. Książka zawiera ponad 400 zadań, większość z rozwiązaniami. Dyskretny Urok Matematyki przeznaczony jest dla uczniów starszych klas szkół średnich zainteresowanych matematyką, dla ich nauczycieli i studentów pierwszego roku. Zaciekawi też z pewnością miłośników tej dyscypliny.

 

Spis treści

Co to jest matematyka? Czym zajmują się matematycy? xv

Rzeczy wstępne: zasada indukcji i granice 1

1 Zasada indukcji, sumowanie potęg i średnie 2

1.1 Odkrywanie wzorów i zasada indukcji . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Sumowanie potęg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Średnie i nierówności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Granica ciągu 12

2.1 Intuicje i rachunki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Trochę teorii i algorytm Herona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Koło, kula i liczba π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I Narzędzia: pochodna i całka 25

3 Pochodna 26

3.1 Pochodna i jej interpretacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Podstawowe wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Kartezjusz i Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Trochę teorii: ciągłość i twierdzenie Lagrange’a 33

4.1 Ciągłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Twierdzenia Lagrange’a i jego konsekwencje . . . . . . . . . . . 35

4.3 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Pierwsze zastosowania 39

5.1 Monotoniczność i ekstrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Zagadnienia optymalizacyjne i izoperymetria . . . . . . . . . . 42

6 Całka oznaczona 45

6.1 Nieformalne wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Definicja i własności całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3 Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Całka nieoznaczona i wzór Newtona-Leibniza 53

7.1 Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2 Wzór Newtona-Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.3 Newton i Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

II Kilka bardzo ważnych funkcji 61

8 Równania różniczkowe i funkcje przestępne 62

8.1 Eksponenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2 Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9 Logarytm naturalny i arcus tangens 69

9.1 Logarytm naturalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.2 Arcus tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10 Aproksymacje wielomianowe 74

10.1 Aproksymacje liniowe i wypukłość . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.2 Wzór Taylora i rozwinięcia Maclaurina . . . . . . . . . . . . . . 77

10.3 Dowód wzoru Taylora* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11 Reguły de l’Hˆopitala i liczba e 83

11.1 Reguły de l’Hˆopitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11.2 Liczba e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.3 Dwa dowody niewymierności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12 Techniki całkowania 90

12.1 Całkowanie przez podstawienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

12.2 Całkowanie przez części . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13 Aproksymacje całkowe i wzór Stirlinga 97

13.1 Aproksymacja sumy harmonicznej i stała Eulera-Mascheroniego 97

13.2 Oszacowanie silni i wzór Stirlinga . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

III Nieskończone sumy i zdumiewające równości 101

14 Szeregi liczbowe 102

14.1 Szereg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

14.2 Szereg harmoniczny i szeregi pokrewne . . . . . . . . . . . . . . 106

14.3 Iloczyny nieskończone i liczba π . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

15 Szeregi potęgowe 110

15.1 Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina . . . . . . . . . . . . . 111

15.2 Operacje na szeregach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

16 Trzy niezwykłe równości 116

16.1 Wzór Mercatora i ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

16.2 Wzór Leibniza i obliczanie π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

16.3 Szalone rachunki Leonharda Eulera* . . . . . . . . . . . . . . . 122

16.4 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

17 Liczby zespolone i funkcje przestępne 125

17.1 Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

17.2 Liczby zespolone i funkcje przestępne . . . . . . . . . . . . . . . 128

17.3 Logarytm zespolony i wzór Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . 131

18 Szeregi Fouriera i ich zastosowania* 133

18.1 Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

18.2 Kwestie zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

18.3 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Interludium I 144

IV Świat fizyczny, geometria i prawdopodobieństwo 145

19 Rozwój, zanik i oscylacje 146

19.1 Równanie rozpadu i jego warianty . . . . . . . . . . . . . . . . 146

19.2 Układy drgające* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

19.3 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

20 Torus i trąbka 156

20.1 Zasada Cavalieriego i objętość brył obrotowych . . . . . . . . . 156

20.2 Pole powierzchni obrotowej i trąbka Torricellego . . . . . . . . 160

21 Matematyka i kartografia 162

21.1 Odwzorowanie walcowe Lamberta i twierdzenie Archimedesa . . 162

21.2 Odwzorowanie Merkatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

22 Igła Buffona i wybór sekretarki 166

22.1 Prawdopodobieństwo geometryczne i igła Buffona . . . . . . . . 166

22.2 Problem sekretarki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

23 Zmienna losowa, rozkład dwumianowy i błądzenie losowe 172

23.1 Zmienna losowa i jej rozkład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

23.2 Miary rozproszenia i nierówność Czebyszewa . . . . . . . . . . . 174

23.3 Rozkład dwumianowy i aproksymacja gaussowska . . . . . . . . 177

23.4 Błądzenie losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

V Dyskretny urok arytmetyki wyższej 183

24 Euklides, Euklides, Euklides 184

24.1 Algorytm Euklidesa i jego konsekwencje . . . . . . . . . . . . . 184

24.2 Twierdzenie Euklidesa i sito Eratostenesa . . . . . . . . . . . . 188

25 Kongruencje i ich zastosowania 191

25.1 Kongruencje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

25.2 Dwa klasyczne twierdzenia: Wilsona i Fermata . . . . . . . . . 194

25.3 Rozpoznawanie pierwszości: test Fermata . . . . . . . . . . . . 196

25.4 O tasowaniu kart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

26 Funkcja Eulera i pierwiastki pierwotne 201

26.1 Funkcja Eulera i twierdzenie Eulera . . . . . . . . . . . . . . . 201

26.2 Pierwiastki pierwotne i reszty kwadratowe . . . . . . . . . . . . 204

26.3 Liczby Fermata i twierdzenie Dirichleta . . . . . . . . . . . . . 206

27 Protokoły kryptograficzne 208

27.1 Szyfry symetryczne i uzgadnianie klucza . . . . . . . . . . . . . 209

27.2 RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

28 Kilka pytań o liczby pierwsze 215

28.1 Hipoteza Goldbacha i jej warianty . . . . . . . . . . . . . . . . 215

28.2 Liczby bliźniacze i tematy pokrewne . . . . . . . . . . . . . . . 217

28.3 Twierdzenie Czebyszewa i hipoteza Sierpińskiego . . . . . . . . 218

29 Rozmieszczenie liczb pierwszych 221

29.1 Zeta Riemanna i twierdzenie Eulera . . . . . . . . . . . . . . . 221

29.2 Twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych i hipoteza Riemanna .  224

30 Twierdzenie Lagrange’a o sumie czterech kwadratów 227

30.1 Lemat Minkowskiego i twierdzenie Fermata-Eulera . . . . . . . 228

30.2 Twierdzenia Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

31 Sumy potęg i liczby wielokątne 234

31.1 Sumy potęg i twierdzenie Hilberta-Waringa . . . . . . . . . . . 234

31.2 Liczby wielokątne i twierdzenie Cauchy’ego . . . . . . . . . . . 236

31.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

32 Równania diofantyczne 239

32.1 Równania Pitagorasa i Fermata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

32.2 Równanie Pella i problem trzody Heliosa . . . . . . . . . . . . . 244

32.3 Wiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

VI Między kombinatoryką, geometrią i algebrą 247

33 Grafy, drzewa i wzór Eulera 248

33.1 Ekspresem przez teorię grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

33.2 Grafy planarne i wzór Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

34 Twierdzenie Picka i kolorowanie map 255

34.1 Twierdzenie Picka i wielokąty na kracie . . . . . . . . . . . . . 255

34.2 Twierdzenie o czterech barwach i kolorowanie grafów . . . . . . 257

34.3 Dwa zadania o podziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

35 Wielokąty foremne i parkietaże 262

35.1 Wielokąty foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

35.2 Parkietaże płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

35.3 Upakowania na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

35.4 Gardner i Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

36 Wielościany, parkietaże i upakowania przestrzeni 269

36.1 Wielościany platońskie i archimedesowe . . . . . . . . . . . . . 269

36.2 Parkietaże i upakowania w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . 273

37 Liczby zespolone i konstrukcje geometryczne 275

37.1 Postać trygonometryczna i wzór de Moivre’a . . . . . . . . . . 275

37.2 Konstrukcje wielokątów foremnych . . . . . . . . . . . . . . . . 279

37.3 Trzy klasyczne problemy konstrukcyjne . . . . . . . . . . . . . 281

37.4 Euklides i jego Elementy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

38 Przekroje i krzywe stożkowe 285

38.1 Przekroje wielościanów platońskich . . . . . . . . . . . . . . . . 285

38.2 Przekroje stożka i krzywe stożkowe . . . . . . . . . . . . . . . . 287

38.3 Krzywe stożkowe a równania algebraiczne . . . . . . . . . . . . 291

39 Czwarty wymiar i wyżej 294

39.1 Hipersześcian i inne wielokomórki . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

39.2 Osobliwości wyższych wymiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

39.3 Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

VII Twierdzenia o istnieniu i gry matematyczne 299

40 Być albo nie być, czyli kwestie istnienia 300

40.1 Zasada szufladkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

40.2 Kolorowanie, parzystość i polimina . . . . . . . . . . . . . . . . 303

40.3 Erd˝os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

41 Punkty, proste i twierdzenie Sylvestera 307

41.1 Punkty i odległości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

41.2 Proste twierdzenie o prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

42 Twierdzenia ramseyowskie 311

42.1 Gra w trójkąty i liczby Ramseya . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

42.2 Twierdzenie van der Waerdena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

43 Trzy gry Conwaya: kropki, krzyżyki i żołnierze 318

43.1 Kropki i krzyżyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

43.2 Żołnierze Conwaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

43.3 Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

44 NIM i funkcja Grundy’ego 323

44.1 NIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

44.2 Funkcja Grundy’ego i NIM Wythoffa . . . . . . . . . . . . . . . 327

44.3 Gry z niepełną informacją* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

44.4 Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Interludium II 335

VIII Nieskończoność, nieobliczalność i niezupełność 337

45 Przeliczalność, nieprzeliczalność i liczby przestępne 338

45.1 Zbiory przeliczalne i zbiory nieprzeliczalne . . . . . . . . . . . . 339

45.2 Liczby kardynalne i twierdzenie Cantora . . . . . . . . . . . . . 341

45.3 O liczbach przestępnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

45.4 Cantor i Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

46 Granice obliczalności i problem stopu 346

46.1 Obliczalność i rozstrzygalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

46.2 Funkcja Rado i problem stopu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

46.3 Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

47 Arytmetyka Peana i twierdzenie G¨odla 354

47.1 Arytmetyka jako system formalny . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

47.2 Twierdzenie G¨odla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

47.3 Peano i G¨odel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

48 Teoria ZF, pewnik wyboru i hipoteza continuum 361

48.1 Aksjomaty teorii mnogości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

48.2 Hipoteza continuum i jej uogólnienia . . . . . . . . . . . . . . . 363

48.3 Sierpiński, Banach i Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

O polskiej szkole matematycznej 366

Odpowiedzi i wskazówki 368

Indeks 397