Wprowadzenie do analizy wektorowej

Opis

Wprowadzenie do analizy wektorowej

autor: Jerzy Mizeraczyk, Magdalena Budnarowska

Wydawnictwo Uniwersytet Morski w Gdyni

„Wprowadzenie do analizy wektorowej” autorstwa Jerzego Mizeraczyka i Magdaleny Budnarowskiej stanowi skrypt, adresowany do studentów Wydziału Elektrycznego Uniwersytetu Morskiego w Gdyni. Jest to wprowadzenie do analizy wektorowej, obejmującej algebrę wektorów oraz rachunek różniczkowy i całkowy funkcji skalarnych i wektorowych we współrzędnych prostokątnych, kulistych i walcowych. Zawiera ono wiedzę z analizy wektorowej na poziomie praktycznym, z ograniczeniem ścisłych wywodów matematycznych. W skrypcie przypomniano ponadto najprostsze elementy rachunku różniczkowego i całkowego. Przedstawiono interpretację fizyczną wielkości, występujących w analizie wektorowej, pomijając matematycznie zaawansowany sposób wyprowadzania tych wielkości oraz ograniczając się do wyżej wymienionych układów współrzędnych. Przykładem takiego podejścia są np. pojęcia dywergencji i rotacji funkcji wektorowych. Zaprezentowane w książce metody analizy pola wektorowego dają solidne podstawy matematycznych metod teorii pola elektromagnetycznego, ułatwiając także przyswojenie wiedzy z elektrodynamiki i techniki mikrofalowej.

SPIS TREŚCI

PRZEDMOWA….. 5

WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ I SKRÓTÓW …… 7

1. ALGEBRA WEKTORÓW …… 9

1.1. Skalary i wektory …. 9

1.2. Operacje na wektorach…… 9

1.3. Algebra wektorów – zapis za pomocą współrzędnych … 13

1.4. Iloczyn mieszany wektorów ….. 15

1.4.1. Iloczyn mieszany wyrażony przez współrzędne … 16

1.5. Podwójny iloczyn wektorowy . 17

1.6. Wektory położenia, infinitezymalnego przesunięcia i różnicy położeń.. 18

2. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI SKALARNYCH

I WEKTOROWYCH….21

2.1. Pochodna funkcji jednej zmiennej …. 21

2.2. Pochodna funkcji wielu zmiennych. Gradient …. 21

2.3. Operator  (operator nabla)…. 22

2.4. Operacje algebraiczne z operatorem ∇…. 23

2.4.1. Gradient….. 23

2.4.2. Dywergencja …. 23

2.4.3. Rotacja …. 24

2.5. Drugie pochodne funkcji skalarnych i wektorowych… 25

2.5.1. Dywergencja gradientu funkcji skalarnej… 26

2.5.2. Rotacja gradientu funkcji skalarnej… 27

2.5.3. Gradient dywergencji funkcji wektorowej…. 27

2.5.4. Dywergencja rotacji funkcji wektorowej… 27

2.5.5. Rotacja rotacji funkcji wektorowej…28

3. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI SKALARNYCH

I WEKTOROWYCH…. 29

3.1. Całki krzywoliniowe, powierzchniowe i objętościowe…. 29

3.1.1. Całki krzywoliniowe…. 29

3.1.2. Całki powierzchniowe….. 30

3.1.2.1. Element skalarny (ds) i wektorowy (ds) powierzchni S … 30

3.1.2.2. Elementarny i całkowity strumień pola wektorowego. Całka

powierzchniowa z funkcji wektorowej.. 31

3.1.3. Całki objętościowe… 31

3.1.4. Całka krzywoliniowa z ∇ T. Podstawowe twierdzenie dla gradientu 32

3.1.5. Całka krzywoliniowa z funkcji wektorowej po krzywej zamkniętej

(cyrkulacja pola wektorowego)…. 33

3.1.6. Cyrkulacja wektora po obwodzie elementarnego kwadratu. Rotacja

pola wektorowego – definicja ….. 35

3.1.7. Cyrkulacja wektora po dowolnej krzywej zamkniętej. Podstawowe

twierdzenie dla rotacji funkcji wektorowej (wzór Stokesa)…37

3.2. Całka powierzchniowa z funkcji wektorowej po powierzchni zamkniętej

(strumień pola wektorowego przez powierzchnię zamkniętą)…. 40

3.2.1. Strumień pola wektorowego wypływający z nieskończenie małej

objętości. Dywergencja (lub rozbieżność) pola wektorowego –

definicja…… 41

3.2.2. Podstawowe twierdzenie dla dywergencji (wzór Gaussa)…. 43

4. ANALIZA WEKTOROWA WE WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH,

KULISTYCH I WALCOWYCH….. 44

4.1. Współrzędne prostokątne …. 45

4.1.1. Gradient, dywergencja, rotacja i laplasjan we współrzędnych

prostokątnych.. 46

4.2. Współrzędne kuliste … 46

4.2.1. Gradient, dywergencja, rotacja i laplasjan we współrzędnych

kulistych….. 50

4.3. Współrzędne walcowe….. 51

4.3.1. Gradient, dywergencja, rotacja i laplasjan we współrzędnych

walcowych … 54

LITERATURA….. 55

INDEKS…… 56