Markowe wykłady z matematyki Geometria

Opis

Markowe wykłady z matematyki Geometria

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Marek Zakrzewski

Niniejsza książka przedstawia propozycję jednosemestralnego kursu geometrii, uzupełnionego o kilka wykładów geometrii algebraicznej. Powinna być dostępna dla studentów II roku matematyki i kierunków pokrewnych. W zasadzie korzystam tu wyłącznie z podstawowego kursu analizy i geometrii analitycznej (z iloczynem wektorowym włącznie), pojęcia grupy i podstaw algebry liniowej.

 

Spis treści

Wstęp xi

I Płaszczyzna euklidesowa xv

1 Izometrie płaszczyzny euklidesowej 4

1.1 Grupa izometrii i przystawanie figur .. 4

1.2 Symetrie, translacje i obroty . .. 7

1.3 Symetria z poślizgiem i klasyfikacja izometrii . . . 11

1.4 Euklides, Kartezjusz i Hilbert .  . 15

2 Przekształcenia, macierze i płaszczyzna zespolona ..16

2.1 Macierze ortogonalne i izometrie . . 16

2.2 Płaszczyzna zespolona i jej izometrie . .. 20

2.3 Podobieństwa, macierze i liczby zespolone . .  22

3 Przekształcenia afiniczne 26

3.1 Reprezentacje i niezmienniki przekształceń afinicznych . . 26

3.2 Dwa twierdzenia geometrii afinicznej . . 30

3.3 Przekształcenia afiniczne = kolineacje . 32

4 Krzywe stożkowe 36

4.1 Elipsa, hiperbola i parabola . .. 36

4.2 Krzywe drugiego stopnia . .. 42

4.3 Równoważność stożkowych na trzy sposoby . . 45

4.4 Apoloniusz, Kepler i Newton .  . 48

II Sfera 49

5 Geometria sfery 51

5.1 Proste i okręgi na sferze . . . 51

5.2 Kąty, trójkąty i twierdzenie Pitagorasa . .  55

5.3 Twierdzenie Girarda-Harriota i pola wielokątów . . 57

5.4 Harriot i Girard . . 59

6 Parkietaże i twierdzenie Eulera ..60

6.1 Parkietaże płaszczyzny . . . 60

6.2 Wzór Eulera i regularne parkietaże sfery . .63

6.3 Wielościany archimedesowskie i parkietaże półregularne sfer . . 66

7 Izometrie sfery i kwaterniony ..68

7.1 Izometrie sfery . .  . 68

7.2 Algebra kwaternionów . .71

7.3 Kwaterniony a składanie izometrii . . 74

7.4 Hamilton i Cayley . . . 77

8 Rzut stereograficzny i mapy 78

8.1 Rzut stereograficzny . .  78

8.2 Kilka słów o kartografii . .  81

8.3 Ptolemeusz i Merkator . . . 84

9 Inwersja ..86

9.1 Inwersja i uogólnione okręgi . . 86

9.2 Konforemność i orientacja . .90

10 Przekształcenia M¨obiusa …92

10.1 Homografie i antyhomografie .  92

10.2 Własności przekształceń M¨obiusa . .95

10.3 Równoważność trójek i dwustosunek . .. 98

10.4 Przekształcenia M¨obiusa i izometrie sfery .100

III Płaszczyzna hiperboliczna …103

11 Półpłaszczyzna Poincarego H: punkty, proste i przystawanie …106

11.1 Punkty, proste i piąty postulat .  106

11.2 Homografie rzeczywiste i przystawanie .  110

11.3 Długość krzywej i odległość . . . 113

11.4 Łobaczewski i Bolyai . .. 116

12 Twierdzenie Gaussa-Bonneta i jego konsekwencje 117

12.1 Pole trójkąta i twierdzenie Gaussa-Bonneta . .  . 117

12.2 Wielokąty i parkietaże . . 121

12.3 Kąt równoległości i absolutna miara długości . .. 124

12.4 Beltrami i Saccheri .  126

13 Odległości, twierdzenie Pitagorasa i okrąg 127

13.1 Dwa wzory na odległość . .. 127

13.2 Twierdzenie Pitagorasa i równanie okręgu . . 130

13.3 Prostopadłość i rozbieżność* . . 133

13.4 Gauss i Riemann . . . 136

14 Izometrie .. 137

14.1 Symetrie i inwersje . .137

14.2 Twierdzenie o trzech symetriach i charakteryzacja izometrii .  139

14.3 Klasyfikacja izometrii parzystych .  . 141

14.4 Klein i Poincar´e .. 143

15 Dwa modele geometrii na dysku 145

15.1 Model dysku i przekształcenie Cayleya . . . 145

15.2 Wielokąty i parkietaże . 148

15.3 Model Beltramiego-Kleina* .  150

15.4 Escher . . 153

IV Płaszczyzna rzutowa 157

16 Prosta rzutowa RP1 160

16.1 Rzutowanie perspektywiczne .  161

16.2 Prosta rzutowa i przekształcenia rzutowe . 163

17 Płaszczyzna rzutowa RP2: punkty i proste ..168

17.1 Dwa spojrzenia na płaszczyznę rzutową . .. 168

17.2 Równanie prostej i reprezentacje wektorowe . . 171

17.3 Aksjomaty, dwoistość i geometrie skończone .  . 173

17.4 Monge i Poncelet .  . 175

18 Przekształcenia rzutowe płaszczyzny … 177

18.1 Niezmienniki i zasadnicze twierdzenie geometrii rzutowej .. . 177

18.2 Przekształcenia rzutowe, afiniczne i kolineacje . . . 181

18.3 Dwustosunek . . 183

18.4 Perspektywa . . 186

18.5 Matematycy – humaniści . . 187

19 Klasyczne twierdzenia geometrii rzutowej 189

19.1 Twierdzenia Pappusa .  189

19.2 Twierdzenie Desarguesa . .  192

19.3 Konfiguracje . 197

19.4 Pappus i Desargues . .198

20 Równoważność stożkowych i hierarchia geometrii .. 200

20.1 Krzywe stożkowe na płaszczyźnie rzutowej . .200

20.2 Hierarchia geometrii . . 202

20.3 Uniwersalność geometrii rzutowej . . 205

20.4 Trzech Niemców i Szwajcar .. 207

V Krzywe algebraiczne na płaszczyźnie rzutowej .. 209

21 Krzywe algebraiczne i twierdzenie Bezout …211

21.1 Krzywe algebraiczne . . . 211

21.2 Twierdzenie Bezout i krzywe zespolone . .. 214

21.3 Bezout i Chasles . .. 217

22 Twierdzenie Cayleya-Bacharacha … 218

22.1 Ile punktów wyznacza krzywą? . .. 218

22.2 9 stowarzyszonych punktów . .. 222

22.3 Dowód twierdzenia Cayleya-Barabacha* . .. 225

23 Krzywe sześcienne, głównie eliptyczne … 227

23.1 Typy krzywych sześciennych . . . 227

23.2 Struktura algebraiczna . .. 231

23.3 Krzywe eliptyczne w postaci Weierstrassa* . 236

Odpowiedzi i wskazówki … 247

Indeks …257