Funkcje zespolone Teoria, przykłady, zadania

Opis

Funkcje zespolone Teoria, przykłady, zadania

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Jolanta Długosz

Niniejszy podręcznik jest przeznaczony dla studentów politechnik oraz dla studentów niektórych wydziałów uniwersytetów. Składa się on z trzech części. Pierwsza część pt. ,,Definicje, twierdzenia, wzory” zawiera zagadnienia teoretyczne omawiane na wykładach. W początkowym rozdziale tej części przypomniano podstawowe wiadomości o liczbach zespolonych. W następnych rozdziałach omówiono zagadnienia dotyczące funkcji zespolonych zmiennej zespolonej, całek z tych funkcji, szeregów zespolonych, punktów osobliwych i residuów oraz przekształcenia Laplace’a. Do zagadnień teoretycznych dołączone są liczne ćwiczenia. Pozwalają one Czytelnikowi lepiej zrozumieć prezentowany materiał. Fragmenty materiału oznaczone gwiazdką nieznacznie wykraczają poza aktualnie obowiązujący program przedmiotu. W ten sam sposób oznaczono trudniejsze ćwiczenia. Zagadnienia te dołączono z myślą o studentach, którzy chcą poszerzyć swoje wiadomości. Druga część pt. Przykłady i zadnia zawiera przykładowe zadania z pełnymi rozwiązaniami oraz podobne zadania bez rozwiązań. Rozwiązane zadania pozwalają zapoznać się z metodami rachunkowymi funkcji zespolonych. Przykłady te powinny być traktowane przez Czytelnika jako pomoc w zrozumieniu teorii, a nie jako schematy rozwiązań do mechanicznego powielania. Do wszystkich zadań podane są odpowiedzi lub wskazówki. W trzeciej części pt. Kolokwia i egzaminy, którą dołączono do obecnego wydania, umieszczono przykładowe zestawy zadań„ rozwiązywane przez studentów Politechniki Wrocławskiej na kolokwiach i egzaminach w poprzednich latach. Zestawy te pozwalają Czytelnikowi zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań„ z tych sprawdzianów. Jest to jednocześnie dodatkowy materiał do samodzielnej nauki. Do wszystkich zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych podane są odpowiedzi.

Spis treści

Wstęp 7

1 Liczby zespolone 9

1.1 Pojęcia wstępne  . 9

1.2 Postać trygonometryczna i wykładnicza . 16

1.3 Pierwiastkowanie liczb zespolonych . . 20

1.4 Zbiory na płaszczyźnie zespolonej .  . 23

1.5 Granice ciągów zespolonych . . 25

Zadania .  . 28

2 Funkcje zespolone 29

2.1 Podstawowe pojęcia . . 29

2.2 Funkcje wykładnicza i trygonometryczne .  . 31

2.3 Logarytm i funkcja logarytmiczna . . 36

2.4 Odwzorowania zbiorów na płaszczyźnie zespolonej .  38

2.5 Granice i ciągłość funkcji zespolonych . . 44

Zadania . .46

3 Funkcje holomorficzne 48

3.1 Pochodna funkcji zespolonej zmiennej zespolonej .. 48

3.2 Równania Cauchy’ego–Riemanna . . . 49

3.3 Funkcje holomorficzne i harmoniczne . . . 52

3.4 Interpretacje funkcji holomorficznej. Potencjał zespolony . . 54

Zadania . . 58

4 Całki funkcji zespolonych 59

4.1 Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej . .. 59

4.2 Krzywe na płaszczyźnie zespolonej . .. 61

4.3 Całka krzywoliniowa funkcji zespolonej zmiennej zespolonej . . 67

4.4 Twierdzenie całkowe Cauchy’ego . . . 74

4.5 Wzór całkowy Cauchy’ego . . 76

Zadania . .. 80

5 Szeregi zespolone 83

5.1 Szeregi liczbowe . . .. 83

5.2 Szeregi potęgowe . . . 87

5.3 Szeregi Taylora . .. 90

5.4 Punkty zerowe funkcji holomorficznej . . . 93

Zadania . .. 95

6 Punkty osobliwe i residua 97

6.1 Szeregi Laurenta . . 97

6.2 Punkty osobliwe .104

6.3 Residua . . . 107

6.4 Zastosowanie residuów do obliczania całek . .110

Zadania . . . 116

7 Przekształcenie Laplace’a 119

7.1 Definicja przekształcenia Laplace’a . .. 119

7.2 Własności przekształcenia Laplace’a . 122

7.3 Odwrotne przekształcenie Laplace’a . .130

7.4 Metody wyznaczania oryginałów . . .. 131

7.5 Metoda operatorowa . . . 137

7.6 Splot funkcji . . . 143

7.7 Transmitancja . . 145

Zadania .147

8 Przekształcenie Z 150

8.1 Definicja przekształcenia Z .. 150

8.2 Własności przekształcenia Z . .. 151

8.3 Przekształcenie odwrotne i metody jego wyznaczania . . 155

8.4 Zastosowanie do rozwiązywania równań różnicowych . .  160

Zadania . . . 163

Odpowiedzi 165

Dodatek 182

Literatura 185

Skorowidz 186