Wstęp do matematyki Jerzy Topp

Opis

Wstęp do matematyki

Autor: Jerzy Topp

Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego

Jest to najnowsza wersja wykładów i ćwiczeń dla studentów pierwszego semestru matematyki i informatyki, prowadzonych przez autora na Uniwersytecie Gdańskim i Politechnice Gdańskiej.

Treść obejmuje rachunek zdań i elementy logiki, rachunek zbiorów, kwantyfikatory, funkcje, relacje, moce zbiorów oraz elementy algebry Boole’a. Całość jest przedstawiona intuicyjnie, z jednej strony, a dostatecznie poprawnie i formalnie, z drugiej strony. Zamieszczono dowody prawie wszystkich prezentowanych twierdzeń. Większość pojęć, własności i twierdzeń jest zilustrowana przykładami i rysunkami. Powinno to ułatwić zrozumienie materiału, który jest stosunkowo łatwy, ale bogaty w nowe pojęcia i formalizmy. Dodatkowo każdy rozdział zakończono wieloma, w większości typowymi, zadaniami i testem.

Do korzystania z tego podręcznika nie jest konieczna znajomość żadnej teorii matematycznej. To właśnie elementarna znajomość przedstawionego materiału powinna ułatwić studentom czytanie kolejnych podręczników, słuchanie innych wykładów matematycznych oraz poznawanie nowych teorii.

Spis treści
PRZEDMOWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Rozdział 1. RACHUNEK ZDAŃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Zdania i formuły zdaniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Wartości logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Ekstensjonalność funktorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5. Kwadrat logiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6. Reguły wnioskowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7. Metody dowodzenia twierdzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8. Analiza rozumowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9. Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Rozdział 2. ZBIORY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1. Czym jest zbiór? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Zasada ekstensjonalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3. Podzbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Działania na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5. Iloczyn kartezjański zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6. Rachunek kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7. Uogólniona suma i uogólniony iloczyn rodziny zbiorów . . . . . . . . . . 72
2.8. Ciało zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.9. Aksjomatyka teorii mnogości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.10. Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Rozdział 3. INDUKCJA MATEMATYCZNA
I REKURENCJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1. Liczby naturalne i indukcja matematyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2. Relacja rekurencji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3. Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Rozdział 4. FUNKCJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1. Definicja funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2. Własności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3. Obcięcie i przedłużenie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4. Operacje arytmetyczne na funkcjach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5. Składanie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6. Odwracalność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.7. Obrazy i przeciwobrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.8. Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Rozdział 5. RELACJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.1. Pojęcie relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2. Działania na relacjach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3. Elementarne własności i typy relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4. Relacja równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5. Częściowy porządek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.6. Elementy wyróżnione w częściowym porządku . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.7. Kraty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.8. Dobry porządek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.9. Indukcja pozaskończona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.10. Równoważność aksjomatu wyboru, zasady dobrego uporządkowania
i lematu Kuratowskiego-Zorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.11. Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Rozdział 6. MOCE ZBIORÓW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1. Równoliczność zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2. Moce zbiorów i porównywanie mocy zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3. Zbiory przeliczalne, co najwyżej przeliczalne i nieprzeliczalne . . . . . . . 175
6.4. Zbiory mocy continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.5. Hipoteza continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.6. Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Rozdział 7. ALGEBRA BOOLE’A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.1. Definicja, przykłady, podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2. Relacja porządkująca w algebrze Boole’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3. Funkcje boole’owskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.4. Analiza i synteza układów logicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.5. Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Indeks