Markowe wykłady z matematyki Równania różniczkowe

Opis

Markowe wykłady z matematyki Równania różniczkowe

Wydawnictwo: GIS

Autorzy: Marek Zakrzewski

Tom siódmy z autorskiej serii „Markowe wykłady z matematyki” jest wprowadzeniem do równań różniczkowych zwyczajnych oraz cząstkowych. Główny nacisk położono na równania różniczkowe liniowe oraz układy takich równań. W książce omówiono zastosowania transformaty Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Ponadto omówiono w niej podstawowe typy równań różniczkowych cząstkowych. W publikacji umieszczono wiele rozwiązanych w pełni przykładów oraz zadania do samodzielnej pracy z odpowiedziami. Podręcznik jest przeznaczony dla studentów uczelni technicznych oraz kierunków ścisłych uniwersytetów.

Spis treści

I Równania I rzędu 1

1 Podstawowe pojęcia i najprostsze równania 4

1.1 Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Równania o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Równania liniowe I rzędu 15

2.1 Struktura przestrzeni rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Rozwiązywanie równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Równanie rozpadu i modele wzrostu populacji 22

3.1 Równanie rozpadu i metoda węgla 14C . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Dwa prawa fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Model maltuzjański i krzywa logistyczna . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Chaos, bifurkacja i pogoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 Malthus i Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Istnienie i jednoznaczność* 35

4.1 Przybliżone rozwiązywanie równań algebraicznych . . . . . . . 35

4.2 Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach zwężających . . . . . . 37

4.3 Metoda kolejnych przybliżeń i dowód twierdzenia Picarda . . . 40

4.4 Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Równania II rzędu i układy drgające 47

5 Podstawy teoretyczne 49

5.1 Wrońskian i kwestie istnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Struktura przestrzeni rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Poszukiwanie rozwiązań: dwa łatwe przypadki . . . . . . . . . . 55

5.4 Hoene-Wroński . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Równania liniowe II rzędu o stałych współczynnikach 60

6.1 Równania jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2 Równania niejednorodne i metoda współczynników nieoznaczonych .. 66

7 Układy drgające 69

7.1 Drgania swobodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.2 Opór, drgania wymuszone i rezonans . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 Szeregi, funkcje specjalne i twierdzenie Sturma 77

8.1 Znane równania — nowe podejście . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.2 Trudne równania i funkcje specjalne . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.3 Twierdzenie Sturma i tematy pokrewne* . . . . . . . . . . . . . 84

9 Prawa Keplera i grawitacja* 89

9.1 Krótki kurs stożkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.2 Równania ruchu i II prawo Keplera . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.3 I prawo Keplera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.4 III prawo Keplera i problem trzech ciał . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5 Kepler i Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

III Układy równań liniowych 101

10 Układy równań i wrońskian 103

10.1 Układy równań a równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

10.2 Trochę teorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11 Liniowe układy jednorodne o stałych współczynnikach 111

11.1 Najprostszy przypadek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.2 Dwa trudniejsze przypadki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12 Eksponenta macierzy i układy niejednorodne 120

12.1 Eksponenta macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12.2 Macierz fundamentalna i rozwiązanie zagadnienia początkowego 125

13 Układy autonomiczne i portrety fazowe 131

13.1 Portrety fazowe i stabilność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

13.2 Portrety fazowe: cztery podstawowe typy . . . . . . . . . . . . . 136

14 Mapa portretów fazowych i przypadki graniczne 142

14.1 Wyznacznik, ślad i mapa portretów fazowych . . . . . . . . . . 142

14.2 Przypadki graniczne* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

14.3 Dwaj akademicy: Poincar´e i Picard . . . . . . . . . . . . . . . . 146

15 Nieliniowość* 148

15.1 Układy nieliniowe i linearyzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

15.2 Model Volterry-Lotki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

15.3 Trajektorie cykliczne i twierdzenie Poincar´e’go-Bendixsona . . . 155

15.4 Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

IV Transformata Laplace’a 161

16 Podstawowe własności transformaty Laplace’a 163

16.1 Wzory i własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

16.2 Transformata pochodnej i odwracalność . . . . . . . . . . . . . 168

16.3 Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

17 Rozwiązywanie równań różniczkowych i . . . 172

17.1 Rozwiązywanie równań i układów równań . . . . . . . . . . . . 172

17.2 Pochodna i całka transformaty Laplace’a* . . . . . . . . . . . . 176

18 Funkcje Heaviside’a, Diraca i splot* 179

18.1 Splot funkcji i iloczyn transformat . . . . . . . . . . . . . . . . 179

18.2 Funkcja Heaviside’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

18.3 „Funkcja” Diraca i jej transformata . . . . . . . . . . . . . . . 186

18.4 Heaviside i Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

V Trzy klasyczne równania fizyki matematycznej 191

19 Równania cząstkowe i zagadnienia brzegowe 193

19.1 Trzy klasyczne równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

19.2 Równanie struny (podejście d’Alemberta) . . . . . . . . . . . . 196

20 Szeregi Fouriera i twierdzenie Dirichleta 199

20.1 Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

20.2 Kwestie zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

20.3 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

21 Trzy zagadnienia brzegowe* 208

21.1 Równanie dyfuzji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

21.2 Równanie struny (podejście Bernoulliego) . . . . . . . . . . . . 212

21.3 Równanie Laplace’a i problem Dirichleta . . . . . . . . . . . . . 215

Epilog 220

Wskazówki do dalszej lektury 223

Odpowiedzi i wskazówki 225

Indeks 234