Opis
Rok Matematyki na Pomorzu
autor: Wiesław Laskowski (red.)
Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego
Monografia została zainspirowana wyjątkowym wydarzeniem, jakim był Rok Matematyki na Pomorzu. Była to promocja nauki ukazująca piękno matematyki i jej znaczenie we współczesnym świecie, przełamująca niekorzystny mit matematyki jako nauki trudnej i niepraktycznej.
Wpisując się w ideę Roku Matematyki, celem niniejszej publikacji jest pokazanie różnorodnej tematyki badań naukowych związanych z matematyką, prowadzonych obecnie na Wydziale Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytetu Gdańskiego. Wśród wybranych znalazły się zarówno prace naukowe napisane przez pracowników wydziału, jak i wyróżniające się prace magisterskie o oryginalnych walorach badawczych. Jedne są wynikiem badań ściśle teoretycznych, inne – badań teoretycznych połączonych z badaniami empirycznymi. Są tu także prace przeglądowe pozwalające w szerszym aspekcie pokazać wkład gdańskich matematyków w rozwój nauk ścisłych.
Spis treści
Przedmowa 9
Prace magisterskie 11
1 Symetrie kwantowe torusa niekomutatywnego
Michał Banacki 13
1.1 Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Preliminaria topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Aksjomaty oddzielania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Ciagi uogólnione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Przestrzenie zwarte i przestrzenie Hausdorffa . . . . . . . . . . . 16
1.3 Teoria C*-algebr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Podstawowe pojecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Twierdzenia Gelfanda-Naimarka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Minimalny iloczyn tensorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.4 C*-algebra uniwersalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Elementy teorii grup topologicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Podstawowe pojecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Działanie grupy topologicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.3 Reprezentacje grup topologicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.4 Miara Haara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Zwarte grupy kwantowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1 Podstawowe pojecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2 Uogólniona miara Haara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.3 Reprezentacje zwartych grup kwantowych . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.4 Działanie zwartej grupy kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5.5 Zwarte pseudogrupy macierzowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6 Torus nieprzemienny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6.1 Konstrukcja algebry C(Tn
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6.2 Uwagi o zastosowaniach w fizyce matematycznej . . . . . . . . . . 44
1.7 Zwarta grupa kwantowa (T n
, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7.1 Konstrukcja algebry T n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7.2 (T n
, ) jako grupa symetrii nieprzemiennego torusa . . . . . . . 51
1.8 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Gra w policjantów i złodziei jako przykład gry na grafach
Mateusz Miotk 55
2.1 Wprowadzenie do gry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.1 Zasady gry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.2 Przykład rozgrywki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.3 Problemy rozpatrywane w grze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.4 Podstawowe pojecia i definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Najmniejsza liczba policjantów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Spis tresci
2.2.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.2 Ograniczenia dolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.3 Ograniczenia górne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Liczba policjantów w retraktach grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1 Definicja retrakcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.2 Policjanci a retrakt grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.3 Pojecie pułapki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.4 Grafy sekwencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4 Liczba policjantów na róznych operacjach grafów . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.1 Produkt kartezjanski grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.2 Produkt kategoryjny grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.3 Silny produkt grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.4 Twierdzenia dotyczace produktów grafów . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.5 Korona grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.6 Złaczenie grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5 Algorytmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.1 Algorytm sprawdzajacy czy c(G) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.2 Algorytm sprawdzajacy, czy c(G) ¬ k . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Prace przegladowe 83
3 Metody liczenia niezmienników odwzorowan wielomianowych
Aleksandra Nowel 85
3.1 Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Bazy Groebnera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Formuła Eisenbuda-Levine’a-Khimshiashviliego . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Obliczanie stopnia
topologicznego odwzorowania wielomianowego . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.1 Formuła sladu dla form kwadratowych
(przypadek zer niezdegenerowanych) . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.2 Efektywna formuła na obliczanie stopnia topologicznego
w przypadku skonczonej liczby zer . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.3 Efektywna formuła na obliczanie stopnia topologicznego
w przypadku (I : P) + P = R[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Obliczanie indeksu samoprzeciecia
immersji wielomianowej. Niezmienniki odwzorowan
do rozmaitosci Stiefela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 Efektywne zliczanie punktów osobliwych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.1 Odwzorowania 1-generyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.2 Odwzorowania z R2 do R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.3 Odwzorowania z R3 do R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6.4 Osobliwosci typu „cross-cap” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.7 Indeks punktu krytycznego rzedu 2 odwzorowania z R4 do R4 . . . . . . 109
4 Rozwój pojecia ciagłosci w historii matematyki
Michał Bartkowiak 115
4.1 Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Pierwsze problemy z pojeciem ciagłosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.1 Aporie Zenona i Demokryta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.2 Próby radzenia sobie z ciagłoscia i nieskonczonoscia . . . . . . . . 119
4.2.3 Odkrycie odcinków niewspółmiernych . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3 Teoria proporcji Eudoksosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4 Nauka o ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.1 Koncepcja ruchu według Arystotelesa . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.2 Sredniowiecze europejskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4.3 Opis ilosciowy drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym . . . . 133
4.5 Droga do odkrycia rachunku rózniczkowego i całkowego – kwadratury
krzywych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5.1 Metoda wyczerpywania Eudoksosa . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5.2 Kwadratura paraboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5.3 Zasada Cavalieriego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5.4 Gilles Personne de Roberval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.5.5 John Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5.6 Isaac Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.6 Rachunek rózniczkowy i całkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.6.1 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.6.2 Godfryd Wilhelm von Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.7 Budowa fundamentów analizy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.7.1 Arytmetyzacja analizy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.7.2 Konstrukcja liczb rzeczywistych – przekroje Dedekinda . . . . . . 154
4.8 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Prace badawcze 159
5 Iterative methods
Antoni Augustynowicz & Tomasz Człapinski 161
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2 Functional differential inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3 Chaplyghin sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.4 The Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6 On the oriented chromatic number of grids with seven columns
Janusz Dybizbanski & Anna Nenca 181
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.2 Seven colors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.3 Eight colors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4 New algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8 Spis tresci
7 Speeding up computers
Janusz Kowalik & Piotr Arłukowicz 191
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2 Acceleration Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.3 Additional information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.4 Briefly about Phi architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.5 Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.6 Saxpy benchmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.7 Performance Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.8 Three ways of using Phi in platforms consisting of CPUs and Xeon Phi
coprocessors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.8.1 Offload option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.8.2 Symmetric option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.8.3 Coprocessor alone, the native option . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.8.4 Portability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.9 Xeon Phi in the TOP500 list of computers . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.10 Phi coprocessor solving systems of linear algebraic equations . . . . . . . 204
7.11 CGM algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.12 HPCG benchmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Opinie
Na razie nie ma opinii o produkcie.